\quad \operatorname{Dado} A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 4\end{array}\right], calcule:
a) A^{2}
b) A^{3}
Passo 1
O enunciado dá a matriz \displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{array}\right] e pede para calcular: \quad a) \displaystyle A^{2} \quad b) \displaystyle A^{3}
Informações relevantes do enunciado: \quad a matriz \displaystyle A é 2\times2 e seus elementos são \displaystyle a_{11}=2, \displaystyle a_{12}=0, \displaystyle a_{21}=0, \displaystyle a_{22}=4.
A resolução seguirá multiplicando matrizes conforme a definição usual de produto matricial.]
Passo 2
Relembrando a regra de multiplicação para matrizes 2\times2: se
\displaystyle B=\left[\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{array}\right]
e
\displaystyle C=\left[\begin{array}{ll}c_{11} & c_{12} \\[4pt] c_{21} & c_{22}\end{array}\right],
então o produto \displaystyle D=BC tem entradas dadas por
Essa fórmula diz: para obter um elemento do produto, faça o produto escalar da linha correspondente da primeira matriz com a coluna correspondente da segunda matriz. Vou aplicar isso direto a \displaystyle A^{2}=A\cdot A.]
Passo 3
Calcular \displaystyle A^{2}=A\cdot A. Escrevo as entradas usando a fórmula do passo anterior.
Uma observação didática rápida: como \displaystyle A é uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal principal são zero), ao multiplicá‑la por outra diagonal os produtos fora da diagonal permanecem zero e cada entrada diagonal se multiplica somente por ela mesma — por isso os elementos diagonais foram elevados ao quadrado.]
Passo 4
Calcular \displaystyle A^{3}. Posso fazer \displaystyle A^{3}=A^{2}\cdot A (uso o resultado do passo anterior).