\quad \operatorname{Dado} A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 4\end{array}\right], calcule:
a) A^{2}
b) A^{3}

Passo 1

O enunciado dá a matriz \displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{array}\right] e pede para calcular:
\quad a) \displaystyle A^{2}
\quad b) \displaystyle A^{3}
Informações relevantes do enunciado:
\quad a matriz \displaystyle A é 2\times2 e seus elementos são \displaystyle a_{11}=2, \displaystyle a_{12}=0, \displaystyle a_{21}=0, \displaystyle a_{22}=4.
A resolução seguirá multiplicando matrizes conforme a definição usual de produto matricial.]

Passo 2

Relembrando a regra de multiplicação para matrizes 2\times2: se
\displaystyle B=\left[\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{array}\right]
e
\displaystyle C=\left[\begin{array}{ll}c_{11} & c_{12} \\[4pt] c_{21} & c_{22}\end{array}\right],
então o produto \displaystyle D=BC tem entradas dadas por
\displaystyle d_{ij}=\sum_{k=1}^{2} b_{ik}\,c_{kj},
ou explicitamente:
\displaystyle d_{11}=b_{11}c_{11}+b_{12}c_{21},\qquad d_{12}=b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22},
\displaystyle d_{21}=b_{21}c_{11}+b_{22}c_{21},\qquad d_{22}=b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22}.
Essa fórmula diz: para obter um elemento do produto, faça o produto escalar da linha correspondente da primeira matriz com a coluna correspondente da segunda matriz. Vou aplicar isso direto a \displaystyle A^{2}=A\cdot A.]

Passo 3

Calcular \displaystyle A^{2}=A\cdot A. Escrevo as entradas usando a fórmula do passo anterior.
\displaystyle (A^{2})_{11}=2\cdot 2 + 0\cdot 0 = 4.
\displaystyle (A^{2})_{12}=2\cdot 0 + 0\cdot 4 = 0.
\displaystyle (A^{2})_{21}=0\cdot 2 + 4\cdot 0 = 0.
\displaystyle (A^{2})_{22}=0\cdot 0 + 4\cdot 4 = 16.
Portanto,
\displaystyle A^{2}=\left[\begin{array}{ll}4 & 0 \\[4pt] 0 & 16\end{array}\right].
Uma observação didática rápida: como \displaystyle A é uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal principal são zero), ao multiplicá‑la por outra diagonal os produtos fora da diagonal permanecem zero e cada entrada diagonal se multiplica somente por ela mesma — por isso os elementos diagonais foram elevados ao quadrado.]

Passo 4

Calcular \displaystyle A^{3}. Posso fazer \displaystyle A^{3}=A^{2}\cdot A (uso o resultado do passo anterior).
Usando o mesmo procedimento de multiplicação:
\displaystyle (A^{3})_{11}=4\cdot 2 + 0\cdot 0 = 8.
\displaystyle (A^{3})_{12}=4\cdot 0 + 0\cdot 4 = 0.
\displaystyle (A^{3})_{21}=0\cdot 2 + 16\cdot 0 = 0.
\displaystyle (A^{3})_{22}=0\cdot 0 + 16\cdot 4 = 64.
Logo,
\displaystyle A^{3}=\left[\begin{array}{ll}8 & 0 \\[4pt] 0 & 64\end{array}\right].
Outra observação didática: para uma matriz diagonal \displaystyle \operatorname{diag}(d_{1},d_{2}) vale a propriedade
\displaystyle \left(\operatorname{diag}(d_{1},d_{2})\right)^{n}=\operatorname{diag}(d_{1}^{\,n},d_{2}^{\,n}),
então aqui \displaystyle A^{n}=\left[\begin{array}{ll}2^{n} & 0 \\[4pt] 0 & 4^{n}\end{array}\right]; com n=2 e n=3 obtemos os resultados acima.]

Resposta

\displaystyle A^{2}=\left[\begin{array}{ll}4 & 0 \\[4pt] 0 & 16\end{array}\right]
\displaystyle A^{3}=\left[\begin{array}{ll}8 & 0 \\[4pt] 0 & 64\end{array}\right]]

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