\text{A é a matriz } \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.é
A pergunta é explícita: "Calcule, caso exista, A^{-1}". Ou seja, preciso verificar se A é invertível e, se for, encontrar sua matriz inversa.]
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar invertibilidade usando o determinante. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = ad-bc.
Aqui cada símbolo significa:
a,b,c,d são as entradas da matriz nas posições correspondentes,
ad é o produto da diagonal principal,
bc é o produto da outra diagonal,
se \det\neq0 a matriz é invertível; se \det=0 não é invertível.
Aplicando em A: a=3, b=1, c=0, d=4. Então
\det(A)=3\cdot4 - 0\cdot1 = 12 - 0 = 12.
Como \det(A)=12\neq0, concluímos que A é invertível — ou seja, existe A^{-1}.]
Passo 3
Método prático para calcular A^{-1} sem truques: resolver A X = I, onde I é a identidade 2\times2. A ideia é encontrar as colunas de A^{-1} resolvendo sistemas lineares:
a primeira coluna de A^{-1} é a solução do sistema A x = e_1, onde e_1=(1,0)^T;
a segunda coluna de A^{-1} é a solução do sistema A y = e_2, onde e_2=(0,1)^T.
Vou resolver cada um desses sistemas passo a passo. (Alternativamente existe a fórmula direta para a inversa de uma 2\times2, que eu mostrarei como checagem no final.)
Passo 4
Resolver A x = e_1\). Escrevendo \(x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix}\) e \(e_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\), o sistema é
\[\begin{cases} 3x_1 + 1x_2 = 1,\\[4pt] 0x_1 + 4x_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem 4x_2=0\], então
\[x_2 = 0.\]
Substituindo na primeira equação: \(3x_1 + 1\cdot 0 = 1, então
Resolver A y = e_2\). Escrevendo \(y=\begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\end{pmatrix}\) e \(e_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\), o sistema é
\[\begin{cases} 3y_1 + 1y_2 = 0,\\[4pt] 0y_1 + 4y_2 = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem 4y_2=1\], então
\[y_2 = \tfrac{1}{4}.\]
Substituindo na primeira equação: \(3y_1 + \tfrac{1}{4} = 0, então