Calcule, caso exista, A^{-1} :
A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 0 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, quando existir, a inversa da matriz A dada por
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{A é a matriz } \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.é
A pergunta é explícita: "Calcule, caso exista, A^{-1}". Ou seja, preciso verificar se A é invertível e, se for, encontrar sua matriz inversa.]

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar invertibilidade usando o determinante. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = ad-bc.
Aqui cada símbolo significa:
  • a,b,c,d são as entradas da matriz nas posições correspondentes,
  • ad é o produto da diagonal principal,
  • bc é o produto da outra diagonal,
  • se \det\neq0 a matriz é invertível; se \det=0 não é invertível.
Aplicando em A: a=3, b=1, c=0, d=4. Então
\det(A)=3\cdot4 - 0\cdot1 = 12 - 0 = 12.
Como \det(A)=12\neq0, concluímos que A é invertível — ou seja, existe A^{-1}.]

Passo 3

Método prático para calcular A^{-1} sem truques: resolver A X = I, onde I é a identidade 2\times2. A ideia é encontrar as colunas de A^{-1} resolvendo sistemas lineares:
  • a primeira coluna de A^{-1} é a solução do sistema A x = e_1, onde e_1=(1,0)^T;
  • a segunda coluna de A^{-1} é a solução do sistema A y = e_2, onde e_2=(0,1)^T.
Vou resolver cada um desses sistemas passo a passo. (Alternativamente existe a fórmula direta para a inversa de uma 2\times2, que eu mostrarei como checagem no final.)

Passo 4

Resolver A x = e_1\). Escrevendo \(x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix}\) e \(e_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\), o sistema é \[\begin{cases} 3x_1 + 1x_2 = 1,\\[4pt] 0x_1 + 4x_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem 4x_2=0\], então \[x_2 = 0.\] Substituindo na primeira equação: \(3x_1 + 1\cdot 0 = 1, então
3x_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \tfrac{1}{3}.
Portanto a solução é
x=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix},
ou seja, essa será a primeira coluna de A^{-1}.]

Passo 5

Resolver A y = e_2\). Escrevendo \(y=\begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\end{pmatrix}\) e \(e_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\), o sistema é \[\begin{cases} 3y_1 + 1y_2 = 0,\\[4pt] 0y_1 + 4y_2 = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem 4y_2=1\], então \[y_2 = \tfrac{1}{4}.\] Substituindo na primeira equação: \(3y_1 + \tfrac{1}{4} = 0, então
3y_1 = -\tfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad y_1 = -\tfrac{1}{12}.
Portanto a solução é
y=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{12}\\[4pt]\tfrac{1}{4}\end{pmatrix},
que será a segunda coluna de A^{-1}.]

Passo 6

Checagem rápida (opcional, mas boa prática): existe a fórmula direta para a inversa de uma 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando com a=3,b=1,c=0,d=4 e ad-bc=12, obtemos a matriz
\frac{1}{12}\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{4}{12} & -\tfrac{1}{12} \\[4pt] 0 & \tfrac{3}{12}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{12} \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.
Essa expressão confirma os vetores-coluna que encontramos nos passos anteriores.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{12} \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix}]

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