Dados A=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ 1 & -2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{c}-8 \\\\ -4\end{array}\right], determine a matriz X, tal que A X=B.
Passo 1
O que o exercício pede e o que foi dado:\n
Pede-se encontrar a matriz X tal que A X = B.\n
Foi dada a matriz A e o vetor (matriz coluna) B:\n
Informação implícita: A é 2\times2, X deve ser 2\times1 e B é 2\times1. A solução existe e é única se A for invertível (determinante não nulo).]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática do porquê):\n
Se uma matriz quadrada A é invertível (ou seja, existe A^{-1}), então multiplicando ambos os lados da igualdade A X = B pela esquerda por A^{-1} obtemos
A^{-1}A X = A^{-1}B \quad\Rightarrow\quad X = A^{-1}B.
Isto é válido porque A^{-1}A é a matriz identidade e não altera X. Portanto, vamos calcular A^{-1} e depois multiplicar por B. Antes, precisamos verificar se A é invertível calculando o determinante.
Passo 3
Cálculo do determinante e da inversa de A (fórmula e explicação):\n
Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det = ad-bc. Se \det \neq 0 então a inversa é dada por
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
No nosso caso, a=3, b=2, c=1, d=-2. Calculando o determinante:
\det(A)=3\cdot(-2)-2\cdot1 = -6-2 = -8.
Como \det(A)=-8\neq 0, A é invertível. Aplicando a fórmula da inversa:
Cálculo de X=A^{-1}B passo a passo (multiplicação de matriz por vetor):\n
Multiplicamos A^{-1} pelo vetor B. Lembre que a regra da multiplicação: o elemento i-ésimo do produto é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da coluna da segunda matriz.\n
Escrevendo: