Dados A=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ 1 & -2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{c}-8 \\\\ -4\end{array}\right], determine a matriz X, tal que A X=B.

Passo 1

O que o exercício pede e o que foi dado:\n
  • Pede-se encontrar a matriz X tal que A X = B.\n
  • Foi dada a matriz A e o vetor (matriz coluna) B:\n
A=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-8 \\[4pt] -4\end{pmatrix}.
  • Informação implícita: A é 2\times2, X deve ser 2\times1 e B é 2\times1. A solução existe e é única se A for invertível (determinante não nulo).]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do porquê):\n
Se uma matriz quadrada A é invertível (ou seja, existe A^{-1}), então multiplicando ambos os lados da igualdade A X = B pela esquerda por A^{-1} obtemos
A^{-1}A X = A^{-1}B \quad\Rightarrow\quad X = A^{-1}B.
Isto é válido porque A^{-1}A é a matriz identidade e não altera X. Portanto, vamos calcular A^{-1} e depois multiplicar por B. Antes, precisamos verificar se A é invertível calculando o determinante.

Passo 3

Cálculo do determinante e da inversa de A (fórmula e explicação):\n
Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det = ad-bc. Se \det \neq 0 então a inversa é dada por
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
No nosso caso, a=3, b=2, c=1, d=-2. Calculando o determinante:
\det(A)=3\cdot(-2)-2\cdot1 = -6-2 = -8.
Como \det(A)=-8\neq 0, A é invertível. Aplicando a fórmula da inversa:
A^{-1} = \frac{1}{-8}\begin{pmatrix}-2 & -2 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Agora simplificamos cada entrada dividindo por -8:
A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{-2}{-8} & \dfrac{-2}{-8} \\[6pt] \dfrac{-1}{-8} & \dfrac{3}{-8}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \\[6pt] \dfrac{1}{8} & -\dfrac{3}{8}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de X=A^{-1}B passo a passo (multiplicação de matriz por vetor):\n
Multiplicamos A^{-1} pelo vetor B. Lembre que a regra da multiplicação: o elemento i-ésimo do produto é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da coluna da segunda matriz.\n
Escrevendo:
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \\[6pt] \dfrac{1}{8} & -\dfrac{3}{8}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-8 \\[4pt] -4\end{pmatrix}.
Calculamos cada componente:\n
Primeira componente:
x_1 = \dfrac{1}{4}\cdot(-8) + \dfrac{1}{4}\cdot(-4) = -2 + (-1) = -3.
Segunda componente:
x_2 = \dfrac{1}{8}\cdot(-8) + \left(-\dfrac{3}{8}\right)\cdot(-4) = -1 + \dfrac{12}{8} = -1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}.
Portanto
X = \begin{pmatrix}-3 \\[4pt] \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação (uma boa prática para a prova):\n
Multiplicamos A por X para checar se obtemos B:
A X = \begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 \\[4pt] \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\cdot(-3)+2\cdot\tfrac{1}{2} \\[6pt] 1\cdot(-3)+(-2)\cdot\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-9+1 \\[6pt] -3-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-8 \\[4pt] -4\end{pmatrix}=B.
Confere! A solução está correta.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}-3 \\[4pt] \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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