Questão 3 (1,0 ponto): Dois satélites estão em órbitas circulares em torno da Terra.O raio da órbita do satélite 2 é duas vezes o raio da órbita do satélite 1 . Neste caso, qual dos satélites possui a maior velocidade orbital?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dois satélites movem-se em órbitas circulares ao redor da Terra.
  • O raio da órbita do satélite 2 é o dobro do raio da órbita do satélite 1. Ou seja, se o raio do satélite 1 é \,r_1, então o raio do satélite 2 é \,r_2 = 2r_1.
  • Pergunta: qual dos satélites possui a maior velocidade orbital?

Passo 2

Vamos escrever a equação que relaciona a força que mantém o satélite em órbita com o movimento circular. Para um satélite de massa \,m em órbita de raio \,r em torno da Terra (massa \,M), aplicam-se duas expressões:
  • Lei da gravitação universal (módulo da força gravitacional):
F_{\text{g}} = G\,\frac{M m}{r^{2}},
onde \,G é a constante gravitacional, \,M é a massa da Terra, \,m é a massa do satélite e \,r é o raio da órbita.
  • Força centrípeta necessária para manter o satélite em movimento circular com velocidade \,v:
F_{\text{c}} = m\,\frac{v^{2}}{r}.
Explicando cada variável:
  • \,G: constante universal ( \approx 6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}kg^{-1}s^{-2}}), mas não precisamos do seu valor aqui.
  • \,M: massa da Terra (constante conhecida).
  • \,m: massa do satélite (vai se cancelar).
  • \,r: raio da órbita (dado no enunciado).
  • \,v: velocidade orbital que queremos comparar.
Em órbita circular a gravidade fornece exatamente a força centrípeta, logo igualamos as duas expressões:
G\,\frac{M m}{r^{2}} = m\,\frac{v^{2}}{r}.
Agora simplificamos: podemos cancelar \,m em ambos os lados (a velocidade não depende da massa do satélite), e multiplicar ambos os lados por \,r, obtendo
v^{2} = \frac{G M}{r}.
Tomando raiz quadrada:
v = \sqrt{\frac{G M}{r}}.
Interpretando: a velocidade orbital varia com o inverso da raiz quadrada do raio. Em palavras fáceis: quanto menor o raio \,r, maior a velocidade \,v.

Passo 3

Agora aplicamos essa relação aos dois satélites. Para o satélite 1:
v_{1} = \sqrt{\frac{G M}{r_{1}}}.
Para o satélite 2:
v_{2} = \sqrt{\frac{G M}{r_{2}}}.
Formamos a razão \dfrac{v_{2}}{v_{1}}:
\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{G M / r_{2}}{G M / r_{1}}} = \sqrt{\frac{r_{1}}{r_{2}}}.
Como dado que \,r_{2}=2r_{1}, segue
\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{r_{1}}{2r_{1}}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071.
Portanto \,v_{2}=v_{1}/\sqrt{2} e equivalentemente \,v_{1}=\sqrt{2}\,v_{2}. Ou seja, o satélite 1 tem velocidade maior: ele é mais rápido por um fator \sqrt{2} quando comparado ao satélite 2.

Passo 4

Intuição física rápida e dica de prova:
  • Mais perto da Terra a gravidade é mais intensa, então o satélite precisa de maior velocidade para não cair — por isso a dependência v\propto 1/\sqrt{r}.
  • Note que a massa do satélite não entra na velocidade (ela cancela), logo a comparação depende só dos raios.
  • Em provas, basta lembrar da fórmula \,v=\sqrt{GM/r} e comparar raios: se um raio for o dobro do outro, a velocidade será menor por um fator \sqrt{2}.

Resposta

O satélite 1 possui a maior velocidade orbital.

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