Dados m, mostre que qualquer subespaço de dimensão m contido em R^n é o espaço solução de um sistema linear com n-m equações independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um subespaço SsubseteqR^n de dimensão m, existe um sistema de n-m equações lineares independentes cuja solução é exatamente S. Este conteúdo é de espaços vetoriais, base e núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Como primeiro passo para caracterizar S por equações, escolhemos uma base de S. Seja v1,dots,vm uma base de S.

Passo 3

O próximo passo é completar essa base a uma base de R^n. Ou seja, existe um conjunto vm+1,dots,vn tal que
v1,dots,vm,vm+1,dots,vn
é uma base de R^n.

Passo 4

Agora, qualquer vetor xinR^n pode ser escrito de forma única como
x = a1v1 + cdots + amvm + am+1vm+1 + cdots + anvn
Observe que x pertence a S se, e somente se, todos os coeficientes am+1,dots,an forem zero.

Passo 5

A condição “ am+1=0,dots,an=0” é exatamente um sistema de n-m equações lineares independentes em relação às coordenadas de x. Definimos então (n-m) aplicações lineares (funcionais) elli:R^ntoR que extraem o coeficiente am+i. O sistema
ell1(x)=0,;dots,;elln-m(x)=0
implica e é implicado por xin S.

Passo 6

Reunindo essas elli como linhas de uma matriz A de dimensão (n-m)times n, obtemos o sistema matricial
A,x=0
Como as elli são independentes, a matriz A tem posto n-m. Assim seu núcleo é de dimensão n-(n-m)=m e coincide com S.

Resposta

Qualquer subespaço SsubseteqR^n de dimensão m é o núcleo de uma matriz A de posto n-m, logo é o espaço solução de A,x=0, que fornece exatamente n-m equações lineares independentes.

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