Dados
, mostre que qualquer subespaço de dimensão
contido em
é o espaço solução de um sistema linear com
equações independentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um subespaço
de dimensão
, existe um sistema de
equações lineares independentes cuja solução é exatamente
. Este conteúdo é de espaços vetoriais, base e núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Como primeiro passo para caracterizar
por equações, escolhemos uma base de
. Seja
uma base de
.
Passo 3
O próximo passo é completar essa base a uma base de
. Ou seja, existe um conjunto
tal que
é uma base de
.
Passo 4
Agora, qualquer vetor
pode ser escrito de forma única como
Observe que
pertence a
se, e somente se, todos os coeficientes
forem zero.
Passo 5
A condição “
” é exatamente um sistema de
equações lineares independentes em relação às coordenadas de
. Definimos então
aplicações lineares (funcionais)
que extraem o coeficiente
. O sistema
implica e é implicado por
.
Passo 6
Reunindo essas
como linhas de uma matriz
de dimensão
, obtemos o sistema matricial
Como as
são independentes, a matriz
tem posto
. Assim seu núcleo é de dimensão
e coincide com
.
Resposta
Qualquer subespaço
de dimensão
é o núcleo de uma matriz
de posto
, logo é o espaço solução de
, que fornece exatamente
equações lineares independentes.