Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=R^n :
n=2, F=(x, y): 2 x-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F = {(x,y) ∈ ℝ² : 2x – 5y = 0} é um subespaço vetorial de E = ℝ². O conteúdo aqui é subespaço de um espaço vetorial, então vamos precisar checar se F contém o vetor zero, se é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Para mostrar que F contém o vetor zero, basta verificar se (0,0) satisfaz a condição de F. Calculamos 2·0 – 5·0 = 0, logo (0,0) ∈ F.

Passo 3

Agora vamos pegar dois vetores arbitrários em F, digamos u = (x₁,y₁) e v = (x₂,y₂) tais que 2x₁ – 5y₁ = 0 e 2x₂ – 5y₂ = 0. Queremos ver se u+v também está em F. Calculamos:
2(x₁+x₂) - 5(y₁+y₂) = (2x₁ - 5y₁) + (2x₂ - 5y₂) = 0 + 0 = 0
Como a soma satisfaz a mesma condição, concluímos que u+v ∈ F, ou seja, F é fechado sob adição.

Passo 4

Finalmente, seja α ∈ ℝ e u = (x,y) ∈ F com 2x – 5y = 0. Vamos ver se αu ∈ F:
2(αx) - 5(αy) = α(2x - 5y) = α·0 = 0
Isso mostra que F é fechado sob multiplicação por escalar. Como F contém o zero, é fechado sob soma e escalar, F é um subespaço de ℝ².

Resposta

O conjunto F é um subespaço vetorial de ℝ².

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