Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto F = {(x,y) ∈ ℝ² : 2x – 5y = 0} é um subespaço vetorial de E = ℝ². O conteúdo aqui é subespaço de um espaço vetorial, então vamos precisar checar se F contém o vetor zero, se é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Para mostrar que F contém o vetor zero, basta verificar se (0,0) satisfaz a condição de F. Calculamos 2·0 – 5·0 = 0, logo (0,0) ∈ F.
Passo 3
Agora vamos pegar dois vetores arbitrários em F, digamos u = (x₁,y₁) e v = (x₂,y₂) tais que 2x₁ – 5y₁ = 0 e 2x₂ – 5y₂ = 0. Queremos ver se u+v também está em F. Calculamos:
Como a soma satisfaz a mesma condição, concluímos que u+v ∈ F, ou seja, F é fechado sob adição.
Passo 4
Finalmente, seja α ∈ ℝ e u = (x,y) ∈ F com 2x – 5y = 0. Vamos ver se αu ∈ F:
Isso mostra que F é fechado sob multiplicação por escalar. Como F contém o zero, é fechado sob soma e escalar, F é um subespaço de ℝ².
Resposta
O conjunto F é um subespaço vetorial de ℝ².