Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto X :
X=(0,1,0,1,0,0),(-1,1,2,0,1,1),(0,0,0,1,0,-2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um sistema linear homogêneo em $\mathbb{R}^6$ cujo conjunto de soluções seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores
$X={(0,1,0,1,0,0),,(-1,1,2,0,1,1),(0,0,0,1,0,-2)}$. O conteúdo envolve utilizar complemento ortogonal e sistema homogêneo, e vamos precisar achar vetores que anulem todos os geradores de $S=\mathrm{span}(X)$.

Passo 2

Para que o espaço de soluções de um sistema homogêneo $A\mathbf x=0$ seja $S$, basta escolher as linhas de $A$ como vetores que formem uma base do complemento ortogonal $S^{\perp}$. Assim, precisamos achar todos os $w=(x_1,\dots,x_6)$ tais que $w\cdot v=0$ para cada $v\in X$.

Passo 3

Escrevendo as condições $(w\cdot v_i)=0$ obtemos o sistema para $w$:
$$
w\cdot(0,1,0,1,0,0)=x_2+x_4=0
$$
$$
w\cdot(-1,1,2,0,1,1)=-x_1+x_2+2x_3+x_5+x_6=0
$$
$$
w\cdot(0,0,0,1,0,-2)=x_4-2x_6=0
$$

Passo 4

Resolvendo esse sistema parametricamente, escolhemos variáveis livres $x_3=s,,x_5=t,,x_6=u$. Das equações vem:
$$
x_4=2u,
$$
$$
x_2=-x_4=-2u,
$$
$$
x_1=2s+t-u.
$$
Então a solução geral para $(x_1,\dots,x_6)$ é combinação linear de
$$
(2,0,1,0,0,0),,(1,0,0,0,1,0),,(-1,-2,0,2,0,1).
$$
Esses são uma base de $S^{\perp}$.

Passo 5

Cada vetor $(w_1,w_2,w_3)$ dessa base gera uma equação homogênea $w_i\cdot x=0$. Assim, um sistema que descreve $S$ é obtido de:
– Para $(2,0,1,0,0,0)$:
$$
2x_1+x_3=0
$$
– Para $(1,0,0,0,1,0)$:
$$
x_1+x_5=0
$$
– Para $(-1,-2,0,2,0,1)$:
$$
-,x_1-2x_2+2x_4+x_6=0
$$

Resposta

2x1+x3=0
x1+x5=0
-,x1-2x2+2x4+x6=0

Exercícios relacionados