1. Prove que a série \sum \frac{\log n}{n^{2}} converge.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^{2}}
converge. O conteúdo aqui é de séries de termos positivos e vamos usar o teste da integral (também conhecido como critério de Cauchy ou critério de comparação integral) para séries de termos não negativos.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{\log x}{x^{2}},
para x\ge1. Note que:
  1. f(x)\ge0 para x\ge1, pois \log x\ge0.
  2. f é decrescente em [1,\infty). De fato, basta ver que
f'(x) = \frac{\tfrac1x\cdot x^{2} - \log x\cdot 2x}{x^{4}} = \frac{x - 2x\log x}{x^{4}} = \frac{1 - 2\log x}{x^{3}},
e para x\ge e^{1/2} temos \log x\ge\tfrac12, logo f'(x)\le0. Assim, a partir de algum N fixo (por exemplo N=2) f é decrescente.

Passo 3

Pelo teste da integral, se
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge, então a série \sum_{n=1}^{\infty}f(n) também converge. Portanto, vamos investigar
\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular a integral imprópria, usamos integração por partes. Tomemos
u = \log x, \quad dv = x^{-2}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}.
Logo
\int \frac{\log x}{x^{2}}\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{\log x}{x} - \int \Bigl(-\tfrac{1}{x}\Bigr)\frac{1}{x}\,dx = -\frac{\log x}{x} + \int x^{-2}\,dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C.
Agora avaliamos de 1 até R:
\int_{1}^{R} \frac{\log x}{x^{2}}\,dx = \Bigl[-\tfrac{\log x}{x} - \tfrac{1}{x}\Bigr]_{1}^{R} = \Bigl(-\tfrac{\log R}{R} - \tfrac{1}{R}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{\log 1}{1} - \tfrac{1}{1}\Bigr) = -\frac{\log R + 1}{R} + 1.
Quando R \to \infty, o termo \frac{\log R + 1}{R}\to0. Portanto
\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^{2}}\,dx = 1 < \infty.

Passo 5

Como a integral converge, pelo teste da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^{2}}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^{2}} converge pelo teste da integral.

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