- Prove que a série
converge.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a série
converge. O conteúdo aqui é de séries de termos positivos e vamos usar o teste da integral (também conhecido como critério de Cauchy ou critério de comparação integral) para séries de termos não negativos.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que:
-
para , pois . -
é decrescente em . De fato, basta ver que
e para
temos
, logo
. Assim, a partir de algum
fixo (por exemplo
)
é decrescente.
Passo 3
Pelo teste da integral, se
converge, então a série
também converge. Portanto, vamos investigar
Passo 4
Para calcular a integral imprópria, usamos integração por partes. Tomemos
Então
Logo
Agora avaliamos de
até
:
Quando
, o termo
. Portanto
Passo 5
Como a integral converge, pelo teste da integral a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.