Dados, em \mathbb{R}^{3}, o produto interno e o subespaço W, determine a dimensão e uma base para W^{\perp}.
O produto escalar com pesos: p_{1}=2, p_{2}=p_{3}=1 e W é gerado pelos vetores \left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right] e \left[\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 o produto interno ponderado por
\langle (x,y,z),(x',y',z')\rangle \;=\;2\,x\,x' + y\,y' + z\,z'
e o subespaço W gerado pelos vetores
u=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.
Queremos encontrar \dim(W^\perp) e uma base de W^\perp, ou seja, todos os vetores que são ortogonais a u e v segundo esse produto interno.

Passo 2

Seja um vetor genérico x=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Impor x\in W^\perp equivale a exigir
\langle x,u\rangle =0 \quad\text{e}\quad \langle x,v\rangle =0.
Escrevendo cada uma:
\langle x,u\rangle = 2\,x\cdot1 + y\cdot(-1) + z\cdot1 = 2x - y + z = 0,
\langle x,v\rangle = 2\,x\cdot1 + y\cdot2 + z\cdot(-1) = 2x + 2y - z = 0.

Passo 3

Temos o sistema linear em (x,y,z)\): \[\begin{cases} 2x - y + z = 0,\\\\ 2x + 2y - z = 0. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos
(2x - y + z)+(2x + 2y - z) = 4x + y = 0 \;\Longrightarrow\; y = -4x.
Substituindo y=-4x\] em \(2x - y + z =0:
2x -(-4x) + z = 6x + z = 0 \;\Longrightarrow\; z = -6x.

Passo 4

Logo todo vetor de W^\perp é da forma
(x,y,z) = x\,(1,\,-4,\,-6).
Isto mostra que W^\perp é gerado pelo único vetor \bigl(1,-4,-6\bigr), ou seja,
W^\perp = \operatorname{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ -6\end{pmatrix}\Bigr\}.

Passo 5

Como encontramos exatamente um vetor livre (parâmetro x), a dimensão de W^\perp é \,1.

Resposta

A dimensão de W^\perp é 1 e uma base é
\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ -6\end{pmatrix}\Bigr\}.

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