Dados \mathbf{a}=[1,2,0], \mathbf{b}=[3,-4,0], \mathbf{c}=[3,5,2] e \mathbf{d}=[6,2,-3], calcule:
\mathbf{a} \times \mathbf{c} \quad e \|\mathbf{a} \times \mathbf{c}\|

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vetores \mathbf{a}=\,[1,2,0], \mathbf{b}=\,[3,-4,0], \mathbf{c}=\,[3,5,2] e \mathbf{d}=\,[6,2,-3].
    O que precisa ser calculado:
  • O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{c}.
  • A norma (magnitude) \|\mathbf{a}\times\mathbf{c}\|.

Passo 2

Relembrando o conceito e a fórmula do produto vetorial (cruz):
  • Para \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3], o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular a ambos e pode ser calculado por
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
que equivale, em componentes, a
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl[\,u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\,\bigr].
  • A norma de um vetor \mathbf{w}=[w_1,w_2,w_3] é
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Observação geométrica útil: \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao par \mathbf{a}=[1,2,0] e \mathbf{c}=[3,5,2]. Usando a expressão componente a componente:
  • Componente x:
a_2 c_3 - a_3 c_2 = 2\cdot 2 - 0\cdot 5 = 4.
  • Componente y:
a_3 c_1 - a_1 c_3 = 0\cdot 3 - 1\cdot 2 = -2.
  • Componente z:
a_1 c_2 - a_2 c_1 = 1\cdot 5 - 2\cdot 3 = 5-6 = -1.
Portanto,
\mathbf{a}\times\mathbf{c} = [4,-2,-1].

Passo 4

Verificação rápida (bom truque na prova): o produto vetorial deve ser perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{c}. Confira os produtos escalares:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{c}) = 1\cdot4 + 2\cdot(-2) + 0\cdot(-1) = 4-4+0 = 0,
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{c}) = 3\cdot4 + 5\cdot(-2) + 2\cdot(-1) = 12-10-2 = 0.
Ambos zero, logo \mathbf{a}\times\mathbf{c} está correto (é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{c}).

Passo 5

Calcular a norma de \mathbf{a}\times\mathbf{c}=[4,-2,-1] usando a fórmula da norma:
\|\mathbf{a}\times\mathbf{c}\|=\sqrt{4^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.
Interpretação rápida: \sqrt{21} é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{a} e \mathbf{c}.

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{c}=[4,-2,-1]
\|\mathbf{a}\times\mathbf{c}\|=\sqrt{21}

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