Encontre o ângulo
entre os pares de vetores abaixo:
e
Passo 1
O enunciado dá os dois vetores e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
-
. -
.
O que é pedido:
- Encontrar o ângulo
entre e .
Passo 2
Regra que vamos usar (apresentação da fórmula e explicação das quantidades):
Aqui:
-
é o produto escalar (dot product) dos vetores. -
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Essa fórmula relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores; ela vem da definição geométrica do produto escalar.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Pelo componente a componente:
Executando as operações:
Passo 4
Calcular as normas
e
. A norma de um vetor
é
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituir na fórmula do cosseno:
Simplificando a raiz:
portanto
Isto é a forma exata do cosseno do ângulo.
Passo 6
Obter o ângulo
extraindo o arco-cosseno. Em forma exata:
Para usar em prova pode deixar nesta forma exata; se precisar do valor numérico aproximado (usando calculadora):
Convertendo para graus (multiplicando por
):