Encontre o ângulo \theta entre os pares de vetores abaixo:
\mathbf{b}=[2,3,1] e \mathbf{c}=[-1,1,0]

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
  • \mathbf{b} = [2,3,1].
  • \mathbf{c} = [-1,1,0].
O que é pedido:
  • Encontrar o ângulo \theta entre \mathbf{b} e \mathbf{c}.

Passo 2

Regra que vamos usar (apresentação da fórmula e explicação das quantidades):
\cos\theta = \frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}}{\|\mathbf{b}\|\;\|\mathbf{c}\|}.
Aqui:
  • \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} é o produto escalar (dot product) dos vetores.
  • \|\mathbf{b}\| e \|\mathbf{c}\| são as normas (comprimentos) dos vetores.
    Essa fórmula relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores; ela vem da definição geométrica do produto escalar.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}. Pelo componente a componente:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = (2)(-1) + (3)(1) + (1)(0).
Executando as operações:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = -2 + 3 + 0 = 1.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{b}\| e \|\mathbf{c}\|. A norma de um vetor [x,y,z] é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Para \mathbf{b}:
\|\mathbf{b}\| = \sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}.
Para \mathbf{c}:
\|\mathbf{c}\| = \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}.

Passo 5

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{14}\,\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{28}}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{28} = 2\sqrt{7},
portanto
\cos\theta = \frac{1}{2\sqrt{7}}.
Isto é a forma exata do cosseno do ângulo.

Passo 6

Obter o ângulo \theta extraindo o arco-cosseno. Em forma exata:
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{2\sqrt{7}}\right).
Para usar em prova pode deixar nesta forma exata; se precisar do valor numérico aproximado (usando calculadora):
\theta \approx 1,38067\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (multiplicando por 180^\circ/\pi):
\theta \approx 79,13^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\right)
\theta \approx 1,38067\\ \text{rad} \approx 79,13^\circ

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