Encontre o ângulo \theta entre os pares de vetores abaixo:
\mathbf{a}=[1,1,1] e \mathbf{b}=[2,3,1]

Passo 1

O enunciado pede encontrar o ângulo \theta entre os vetores \mathbf{a}=[1,1,1] e \mathbf{b}=[2,3,1].
Informações fornecidas:
  • \mathbf{a} = \bigl[1,1,1\bigr].
  • \mathbf{b} = \bigl[2,3,1\bigr].
O que será necessário dar como resposta: o valor de \theta, preferivelmente numa forma exata (se possível) e numa aproximação numérica (graus e/ou radianos) para uso na prova.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): produto escalar de vetores e ângulo entre vetores.
  • Definição do produto escalar: para vetores \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3],
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores. O produto escalar é um número (escalar).
  • Relação entre produto escalar e ângulo: para dois vetores não nulos \mathbf{u} e \mathbf{v},
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \|\mathbf{u}\| é o comprimento (norma) de \mathbf{u}, definido por
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2},
e \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} (medido entre 0 e \pi). Essa fórmula é a chave para achar \theta: isolamos \cos\theta e aplicamos a função inversa \operatorname{arccos}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} usando a definição:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot2 + 1\cdot3 + 1\cdot1.
Compute cada termo:
1\cdot2=2,\qquad 1\cdot3=3,\qquad 1\cdot1=1.
Somando:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2+3+1=6.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{b}\|.
Para \mathbf{a}=[1,1,1]:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Para \mathbf{b}=[2,3,1]:
\|\mathbf{b}\|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.

Passo 5

Usar a relação produto escalar × normas para obter \cos\theta. A fórmula é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta.
Isolando \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}.
Substituindo os valores que já calculamos:
\cos\theta=\frac{6}{\sqrt{3}\,\sqrt{14}}=\frac{6}{\sqrt{42}}.

Passo 6

Simplificar \dfrac{6}{\sqrt{42}} para uma forma mais elegante (se puder ajudar na prova):
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{42}:
\frac{6}{\sqrt{42}}=\frac{6\sqrt{42}}{42}=\frac{\sqrt{42}}{7}.
Portanto temos a forma exata
\cos\theta=\frac{\sqrt{42}}{7}.

Passo 7

Agora obtemos \theta aplicando \operatorname{arccos}:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{42}}{7}\right).
Para usar na prova sem calculadora, deixar a forma exata acima é aceitável. Se precisar de uma aproximação numérica (útil para conferência), calculamos a aproximação da razão e aplicamos \operatorname{arccos}.
Valor numérico da razão:
\frac{\sqrt{42}}{7}\approx 0,9258200997\ldots
Aplicando \operatorname{arccos} e convertendo para graus (usei a conversão \pi\\ \text{rad}=180^\circ):
\theta \approx 22,21^\circ.
Em radianos isso dá aproximadamente
\theta \approx 0,3877\\ \text{rad}.
Dica prática para a prova: se pedirem só o ângulo, entregue a forma exata \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\sqrt{42}/7\bigr). Se pedirem aproximação, diga \approx 22,2^\circ (duas casas é suficiente normalmente).

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\sqrt{42}}{7}\right)\n \theta\approx 22,21^\circ \approx 0,3877\\ \text{rad}

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