Encontre o ângulo
entre os pares de vetores abaixo:
e
Passo 1
O enunciado pede encontrar o ângulo
entre os vetores
e
.
Informações fornecidas:
-
. -
.
O que será necessário dar como resposta: o valor de
, preferivelmente numa forma exata (se possível) e numa aproximação numérica (graus e/ou radianos) para uso na prova.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): produto escalar de vetores e ângulo entre vetores.
- Definição do produto escalar: para vetores
e ,
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores. O produto escalar é um número (escalar).
- Relação entre produto escalar e ângulo: para dois vetores não nulos
e ,
onde
é o comprimento (norma) de
, definido por
e
é o ângulo entre
e
(medido entre
e
). Essa fórmula é a chave para achar
: isolamos
e aplicamos a função inversa
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando a definição:
Compute cada termo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Usar a relação produto escalar × normas para obter
. A fórmula é
Isolando
:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 6
Simplificar
para uma forma mais elegante (se puder ajudar na prova):
Multiplicando numerador e denominador por
:
Portanto temos a forma exata
Passo 7
Agora obtemos
aplicando
:
Para usar na prova sem calculadora, deixar a forma exata acima é aceitável. Se precisar de uma aproximação numérica (útil para conferência), calculamos a aproximação da razão e aplicamos
.
Valor numérico da razão:
Aplicando
e convertendo para graus (usei a conversão
):
Em radianos isso dá aproximadamente
Dica prática para a prova: se pedirem só o ângulo, entregue a forma exata
. Se pedirem aproximação, diga
(duas casas é suficiente normalmente).