Dados \mathbf{a}=[1,2,0], \mathbf{b}=[3,-4,0], \mathbf{c}=[3,5,2] e \mathbf{d}=[6,2,-3], calcule: \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) e (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois escalares: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) e (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}.
Os vetores fornecidos são: \mathbf{a}=[1,2,0], \mathbf{b}=[3,-4,0], \mathbf{c}=[3,5,2] e \mathbf{d}=[6,2,-3].
(Observação: \mathbf{d} foi dada, mas não é necessária para os dois produtos pedidos.)
Passo 2
Primeiro explico as definições que vamos usar, de forma bem direta e prática.
Produto escalar (dot product): para \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3],
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores.
Produto vetorial (cross product): para \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3],
Isso confirma a propriedade de que os dois produtos mistos são iguais. (Se quiser, o valor absoluto |-20|=20 representa o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.)