Dados \mathbf{a}=[1,2,0], \mathbf{b}=[3,-4,0], \mathbf{c}=[3,5,2] e \mathbf{d}=[6,2,-3], calcule:
\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) e (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois escalares: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) e (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}.
Os vetores fornecidos são:
\mathbf{a}=[1,2,0], \mathbf{b}=[3,-4,0], \mathbf{c}=[3,5,2] e \mathbf{d}=[6,2,-3].
(Observação: \mathbf{d} foi dada, mas não é necessária para os dois produtos pedidos.)

Passo 2

Primeiro explico as definições que vamos usar, de forma bem direta e prática.
  • Produto escalar (dot product): para \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3],
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores.
  • Produto vetorial (cross product): para \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3],
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
o que se traduz nas componentes
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big).
  • Produto misto (scalar triple product): \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é um número (escalar). Uma propriedade muito útil é a ciclicidade:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}.
Isto quer dizer que os dois escalares pedidos deverão ser iguais — é bom calcular os dois para verificar, mas isso já nos dá uma expectativa.

Passo 3

Calcular \mathbf{b}\times\mathbf{c}. Usando a fórmula das componentes, com \mathbf{b}=[3,-4,0] e \mathbf{c}=[3,5,2]:
\begin{aligned} (\mathbf{b}\times\mathbf{c})_1 &= b_2 c_3 - b_3 c_2 = (-4)\cdot 2 - 0\cdot 5 = -8,\\\ (\mathbf{b}\times\mathbf{c})_2 &= b_3 c_1 - b_1 c_3 = 0\cdot 3 - 3\cdot 2 = -6,\\\ (\mathbf{b}\times\mathbf{c})_3 &= b_1 c_2 - b_2 c_1 = 3\cdot 5 - (-4)\cdot 3 = 15 + 12 = 27. \end{aligned}
Logo,
\mathbf{b}\times\mathbf{c}=[-8,-6,27].

Passo 4

Agora calculo \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Com \mathbf{a}=[1,2,0] e \mathbf{b}\times\mathbf{c}=[-8,-6,27],
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=1\cdot(-8)+2\cdot(-6)+0\cdot 27 = -8-12+0 = -20.

Passo 5

Calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b}. Com \mathbf{a}=[1,2,0] e \mathbf{b}=[3,-4,0]:
\begin{aligned} (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_1 &= a_2 b_3 - a_3 b_2 = 2\cdot 0 - 0\cdot(-4) = 0,\\\ (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_2 &= a_3 b_1 - a_1 b_3 = 0\cdot 3 - 1\cdot 0 = 0,\\\ (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_3 &= a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot(-4) - 2\cdot 3 = -4 -6 = -10. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=[0,0,-10].

Passo 6

Finalmente calculo (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}. Com \mathbf{a}\times\mathbf{b}=[0,0,-10] e \mathbf{c}=[3,5,2],
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=0\cdot 3 + 0\cdot 5 + (-10)\cdot 2 = -20.
Isso confirma a propriedade de que os dois produtos mistos são iguais. (Se quiser, o valor absoluto |-20|=20 representa o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.)

Resposta

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=-20
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=-20

Exercícios relacionados