Dados \mathbf{a}=[1,2,0], \mathbf{b}=[3,-4,0], \mathbf{c}=[3,5,2] e \mathbf{d}=[6,2,-3], calcule:
\mathbf{a} \times \mathbf{c} \quad e \|\mathbf{a} \times \mathbf{c}\||

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores, mas as perguntas só usam \mathbf{a} e \mathbf{c}. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (peguei os valores do enunciado).
  • Vetores dados:
    \mathbf{a}=[1,2,0] e \mathbf{c}=[3,5,2].
  • O que pedir:
    1. Calcular \mathbf{a}\times\mathbf{c}.
    2. Calcular \|\mathbf{a}\times\mathbf{c}\|.

Passo 2

Relembrando a definição e a fórmula que vou usar (explico cada coisa):
  • Definição: o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{u} e \mathbf{v}. A magnitude \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| é a área do paralelograma gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • Fórmula componente a componente: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\big).
Cada expressão acima vem do determinante da matriz com as componentes e garante o vetor perpendicular aos dois originais.
  • Fórmula da norma: para \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3),
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.

Passo 3

Vou aplicar a fórmula do produto vetorial com \mathbf{a}=(1,2,0) e \mathbf{c}=(3,5,2).
Calculo da primeira componente (componente x):
\text{1ª componente} = a_2 c_3 - a_3 c_2 = 2\cdot 2 - 0\cdot 5 = 4 - 0 = 4.ª

Passo 4

Cálculo da segunda componente (componente y):
\text{2ª componente} = a_3 c_1 - a_1 c_3 = 0\cdot 3 - 1\cdot 2 = 0 - 2 = -2.ª
(Outra forma equivalente que às vezes aparece é usar -(a_1 c_3 - a_3 c_1), que dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Cálculo da terceira componente (componente z):
\text{3ª componente} = a_1 c_2 - a_2 c_1 = 1\cdot 5 - 2\cdot 3 = 5 - 6 = -1.ª

Passo 6

Montando o vetor resultado a partir das componentes calculadas, obtém-se
\mathbf{a}\times\mathbf{c}=(4,\,-2,\,-1).
Como checagem rápida (útil na prova): verificar que este vetor é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{c} fazendo produto escalar:
(4,-2,-1)\cdot(1,2,0)=4-4+0=0,
(4,-2,-1)\cdot(3,5,2)=12-10-2=0.
Os dois resultados 0 confirmam que o produto vetorial está perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{c}, como deve ser.

Passo 7

Agora calculo a norma de \mathbf{a}\times\mathbf{c}. Se \mathbf{w}=(4,-2,-1), então
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{4^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.
Interpretando: \sqrt{21} é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{a} e \mathbf{c}.

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{c}=(4,-2,-1)
\|\mathbf{a}\times\mathbf{c}\|=\sqrt{21}

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