Suponha que, no intervalo entre dois batimentos cardíacos, a pressão sanguínea P de um bebê de 11 meses, em milímetros de mercúrio (mmHg), é descrita aproximadamente por:
P(t)=80+10 \cdot \operatorname{sen}(4 \cdot \pi \cdot t)
onde que t indica o tempo em segundos.:
a) Determine a pressão sanguínea máxima e mínima;
b) Determine o período dessa função.

Passo 1

O enunciado dá a função da pressão sanguínea em mmHg em função do tempo em segundos:
P(t)=80+10\cdot \operatorname{sen}(4\pi t).
As perguntas são:
(a) determinar a pressão sanguínea máxima e a mínima;
(b) determinar o período da função.
Informações relevantes dadas:
  • A função é da forma P(t)=80+10\cdot \operatorname{sen}(4\pi t).
  • A variável t está em segundos.
  • Unidades da pressão: mmHg.

Passo 2

Entender amplitude e deslocamento vertical (isso vai permitir achar máximo e mínimo).
Explicação didática:
  • A função seno padrão \operatorname{sen}(x) tem valores no intervalo [-1,1]. Ou seja, para qualquer x vale -1\le \operatorname{sen}(x)\le 1.
  • Se multiplicamos por uma constante A, a função A\cdot \operatorname{sen}(x) tem intervalo [-|A|,|A|]. Aqui A é a amplitude.
  • Se depois deslocamos verticalmente somando uma constante D, a função D + A\cdot \operatorname{sen}(x) terá intervalo [D-|A|,\;D+|A|]. O valor D é a “reta média” (ou deslocamento vertical).
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Identificar A e D na função P(t)=80+10\cdot \operatorname{sen}(4\pi t): A=10,\qquad D=80.
  • Portanto o intervalo de valores de P(t) é [D-|A|,\;D+|A|]=[80-10,\;80+10]=[70,\;90].
Conclusão deste passo:
  • A pressão mínima é \,70 mmHg.
  • A pressão máxima é \,90 mmHg.

Passo 3

Mostrar quando ocorrem máxima e mínima (para fixar a ideia e ajudar na prova).
Explicação:
  • A pressão atinge o máximo quando \operatorname{sen}(4\pi t)=1. Resolver \operatorname{sen}(4\pi t)=1
    4\pi t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
    logo
    t=\frac{1}{8}+\frac{k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
    Nessas instantes P(t)=80+10\cdot 1=90 mmHg.
  • A pressão atinge o mínimo quando \operatorname{sen}(4\pi t)=-1. Resolver \operatorname{sen}(4\pi t)=-1
    4\pi t = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
    logo
    t=\frac{3}{8}+\frac{k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
    Nessas instantes P(t)=80+10\cdot(-1)=70 mmHg.

Passo 4

Determinar o período da função (explicando a fórmula).
Explicação didática sobre período:
  • A função \operatorname{sen}(x) tem período 2\pi; isto é, \operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}(x) para todo x.
  • Se a variável está comprimida por um fator \omega, isto é, se temos \operatorname{sen}(\omega t), então o período T satisfaz \omega (t+T)=\omega t + 2\pi. Assim \omega T = 2\pi \quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aplicando ao nosso caso:
  • Aqui \omega = 4\pi na expressão \operatorname{sen}(4\pi t).
  • Portanto o período é T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}.
  • Em unidades de tempo: T=\dfrac{1}{2} segundo, ou seja \,0,5 s.
Comentário extra útil para a prova: a frequência (número de ciclos por segundo) é f=\dfrac{1}{T}=2 Hz.

Passo 5

Resumo final do raciocínio:
  • Usando que \operatorname{sen}(x)\in[-1,1] e que a função é 80+10\operatorname{sen}(4\pi t), concluiu-se que os extremos são 80\pm10.
  • Usando a fórmula T=2\pi/\omega com \omega=4\pi, concluiu-se que o período é 1/2 segundo.

Resposta

(a) Pressão máxima: 90 mmHg; pressão mínima: 70 mmHg.
(b) Período: T=\tfrac{1}{2} s (ou 0,5 s).

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