Encontre uma representação paramétrica \mathbf{r}(t) para as seguintes curvas:
Círculo de raio 3 , centro (4,6).

Passo 1

O enunciado dá um círculo de raio 3 com centro em (4,6) e pede uma representação paramétrica \mathbf{r}(t) dessa curva.
Informações relevantes:
  • Raio: R=3.
  • Centro: (a,b)=(4,6).
  • Objetivo: encontrar uma função vetorial \mathbf{r}(t) que descreva todos os pontos do círculo quando t varia.

Passo 2

Ideia básica (passo a passo e a “aula” breve):
  • O círculo unitário centrado na origem tem equação \,x^2+y^2=1.)
  • Uma parametrização simples desse círculo é
x=\cos t,\qquad y=\sin t,
porque \cos^2 t+\sin^2 t=1 para todo t. Aqui t é o ângulo medido a partir do eixo x, e quando t percorre [0,2\pi) a parametrização dá uma volta completa no sentido anti-horário.
  • Para um círculo de raio R centrado na origem, basta multiplicar por R:
x=R\cos t,\qquad y=R\sin t,
pois então x^2+y^2=R^2(\cos^2 t+\sin^2 t)=R^2.
  • Para deslocar o centro para (a,b), somamos a e b às coordenadas x e y. Assim, a forma geral é
\mathbf{r}(t)=\langle a+R\cos t,\; b+R\sin t\rangle.
Nesse passo expliquei cada símbolo:
  • a,b são as coordenadas do centro do círculo;
  • R é o raio;
  • t é o parâmetro (normalmente um ângulo); variar t em [0,2\pi) descreve toda a circunferência uma vez.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado ( a=4, b=6, R=3), obtemos
\mathbf{r}(t)=\langle 4+3\cos t,\;6+3\sin t\rangle.
Isso é uma representação paramétrica do círculo pedido. Aqui t\in[0,2\pi) percorre o círculo uma volta no sentido anti-horário.

Passo 4

Verificação (como provar rápido que está certo — passo importante para a prova):
  • Seja \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle com x(t)=4+3\cos t e y(t)=6+3\sin t.
  • Calcular (x-4)^2+(y-6)^2:
(x-4)^2+(y-6)^2=(3\cos t)^2+(3\sin t)^2=9(\cos^2 t+\sin^2 t)=9.
  • Como 9=3^2, os pontos satisfazem a equação do círculo de centro (4,6) e raio 3. Portanto a parametrização está correta.

Passo 5

Pontos notáveis (úteis para conferir na prova):
  • t=0\Rightarrow \mathbf{r}(0)=\langle 4+3,\,6+0\rangle=\langle 7,\,6\rangle.
  • t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow \mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\langle 4,\,9\rangle.
  • t=\pi\Rightarrow \mathbf{r}(\pi)=\langle 1,\,6\rangle.
  • t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow \mathbf{r}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=\langle 4,\,3\rangle.
    Esses pontos mostram que a parametrização dá os pontos superiores, inferiores e laterais esperados.

Passo 6

Observações extras que podem cair na prova:
  • Velocidade e orientação: \mathbf{r}'(t)=\langle -3\sin t,\;3\cos t\rangle e \|\mathbf{r}'(t)\|=3 (velocidade constante igual ao raio). O sentido de varredura para t aumentando é anti-horário.
  • Se quiser a volta no sentido horário, pode usar \mathbf{r}(t)=\langle 4+3\cos t,\;6-3\sin t\rangle ou substituir t por -t.
  • Se for preciso parametrizar por comprimento de arco s (velocidade unitária), basta usar t=s/3, ou seja:
\mathbf{r}(s)=\left\langle 4+3\cos\!\left(\frac{s}{3}\right),\;6+3\sin\!\left(\frac{s}{3}\right)\right\rangle,
com s\in[0,6\pi) para uma volta completa (o comprimento da circunferência é 2\pi R=6\pi).

Resposta

\mathbf{r}(t)=\langle 4+3\cos t,\;6+3\sin t\rangle,\quad t\in[0,2\pi)

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