Encontre uma representação paramétrica
para as seguintes curvas:
Círculo de raio 3 , centro
.
Círculo de raio 3 , centro
Passo 1
O enunciado dá um círculo de raio
com centro em
e pede uma representação paramétrica
dessa curva.
Informações relevantes:
- Raio:
. - Centro:
. - Objetivo: encontrar uma função vetorial
que descreva todos os pontos do círculo quando varia.
Passo 2
Ideia básica (passo a passo e a “aula” breve):
- O círculo unitário centrado na origem tem equação
.) - Uma parametrização simples desse círculo é
porque
para todo
. Aqui
é o ângulo medido a partir do eixo
, e quando
percorre
a parametrização dá uma volta completa no sentido anti-horário.
- Para um círculo de raio
centrado na origem, basta multiplicar por :
pois então
.
- Para deslocar o centro para
, somamos e às coordenadas e . Assim, a forma geral é
Nesse passo expliquei cada símbolo:
-
são as coordenadas do centro do círculo; -
é o raio; -
é o parâmetro (normalmente um ângulo); variar em descreve toda a circunferência uma vez.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado (
,
,
), obtemos
Isso é uma representação paramétrica do círculo pedido. Aqui
percorre o círculo uma volta no sentido anti-horário.
Passo 4
Verificação (como provar rápido que está certo — passo importante para a prova):
- Seja
com e . - Calcular
:
- Como
, os pontos satisfazem a equação do círculo de centro e raio . Portanto a parametrização está correta.
Passo 5
Pontos notáveis (úteis para conferir na prova):
-
. -
. -
. -
.
Esses pontos mostram que a parametrização dá os pontos superiores, inferiores e laterais esperados.
Passo 6
Observações extras que podem cair na prova:
- Velocidade e orientação:
e (velocidade constante igual ao raio). O sentido de varredura para aumentando é anti-horário. - Se quiser a volta no sentido horário, pode usar
ou substituir por . - Se for preciso parametrizar por comprimento de arco
(velocidade unitária), basta usar , ou seja:
com
para uma volta completa (o comprimento da circunferência é
).