Sabendo que o limite da soma de infinitos termos de uma progressão geométrica (P.G.) é igual a:
onde a_1 é o primeiro termo e q é a razão da P.G., além disso, tal limite só existe quando
. Assim calcule o valor da expressão:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos pede e os dados que ele dá.
- Pedem o valor da expressão
- Observação sobre cada soma dentro das funções:
- A soma dentro do cosseno é a série
. - A soma dentro do seno é a série
.
- A soma dentro do cosseno é a série
- O problema lembra que a soma infinita de uma progressão geométrica (P.G.) é
válida quando . Vamos usar isso para calcular cada soma e depois avaliar e desses resultados.
Passo 2
Relembrando e explicando bem a fórmula da soma de uma P.G. infinita (a minha mini-aula):
- Uma progressão geométrica tem termos de forma
onde: -
é o primeiro termo, -
é a razão (quanto cada termo é multiplicado para obter o próximo).
-
- A soma dos primeiros
termos é Isso vem de manipular a soma e subtrair vezes ela (se quiser eu demonstro essa derivação). - Se a sequência de razões satisfaz
, então quando . Assim a soma infinita existe e vale - É importante sempre identificar
e corretamente e checar para poder usar a fórmula.
Passo 3
Aplicando a fórmula à primeira soma (a do cosseno).
- Identificar
e para a série Aqui o primeiro termo é . O segundo termo é , então a razão é - Verificar convergência:
fica , OK. - Calcular a soma infinita usando a fórmula:
- Portanto o argumento do cosseno é
. Em notação:
Passo 4
Calcular
e explicar por que vale o que vale.
- Lembrando os ângulos notáveis:
é . - Uma forma bem concreta de ver
é usar um triângulo equilátero de lado . Ao dividir ao meio obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa , cateto adjacente a igual a e cateto oposto igual a . Assim
Passo 5
Aplicando a fórmula à segunda soma (a do seno).
- Identificar
e para a série Aqui . A razão é - Verificar convergência:
fica , OK. - Calcular a soma infinita:
- Portanto o argumento do seno é
. Em notação:
Passo 6
Calcular
e explicar.
-
é . No triângulo retângulo ou no círculo unitário, o seno de é porque a coordenada no ponto da circunferência unitária é .
Passo 7
Somar os resultados obtidos:
- Temos
e . - Portanto a expressão original vale