Sabendo que o limite da soma de infinitos termos de uma progressão geométrica (P.G.) é igual a:
S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-q}
onde a_1 é o primeiro termo e q é a razão da P.G., além disso, tal limite só existe quando -1< q<1. Assim calcule o valor da expressão:
\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{24}+\cdots\right)+\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{27}+\cdots\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos pede e os dados que ele dá.
  • Pedem o valor da expressão \cos\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{24}+\cdots\right)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{27}+\cdots\right).
  • Observação sobre cada soma dentro das funções:
    • A soma dentro do cosseno é a série \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{24}+\cdots.
    • A soma dentro do seno é a série \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi}{27}+\cdots.
  • O problema lembra que a soma infinita de uma progressão geométrica (P.G.) é S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-q},válida quando -1<q<1. Vamos usar isso para calcular cada soma e depois avaliar \cos e \operatorname{sen} desses resultados.

Passo 2

Relembrando e explicando bem a fórmula da soma de uma P.G. infinita (a minha mini-aula):
  • Uma progressão geométrica tem termos de forma a_{1},a_{1}q,a_{1}q^{2},\ldots onde:
    • a_{1} é o primeiro termo,
    • q é a razão (quanto cada termo é multiplicado para obter o próximo).
  • A soma dos primeiros n termos é S_n=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}\quad(\text{para }q\neq1).Isso vem de manipular a soma e subtrair q vezes ela (se quiser eu demonstro essa derivação).
  • Se a sequência de razões satisfaz -1<q<1, então q^{n}\to0 quando n\to\infty. Assim a soma infinita existe e vale S_{\infty}=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a_{1}}{1-q}.
  • É importante sempre identificar a_{1} e q corretamente e checar -1<q<1 para poder usar a fórmula.

Passo 3

Aplicando a fórmula à primeira soma (a do cosseno).
  • Identificar a_{1} e q para a série \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{24}+\cdots.Aqui o primeiro termo é a_{1}=\dfrac{\pi}{6}. O segundo termo é \dfrac{\pi}{12}, então a razão é q=\frac{\frac{\pi}{12}}{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}.
  • Verificar convergência: -1<q<1 fica -1<\tfrac{1}{2}<1, OK.
  • Calcular a soma infinita usando a fórmula: S_1=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\dfrac{\pi}{6}}{1-\dfrac{1}{2}}=\frac{\dfrac{\pi}{6}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\pi}{6}\cdot 2=\dfrac{\pi}{3}.
  • Portanto o argumento do cosseno é \dfrac{\pi}{3}. Em notação: \cos\!\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{24}+\cdots\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right).

Passo 4

Calcular \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) e explicar por que vale o que vale.
  • Lembrando os ângulos notáveis: \dfrac{\pi}{3} é 60^\circ.
  • Uma forma bem concreta de ver \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} é usar um triângulo equilátero de lado 1. Ao dividir ao meio obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 1, cateto adjacente a 60^\circ igual a \tfrac{1}{2} e cateto oposto igual a \tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando a fórmula à segunda soma (a do seno).
  • Identificar a_{1} e q para a série \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{27}+\cdots.Aqui a_{1}=\dfrac{\pi}{3}. A razão é q=\frac{\frac{\pi}{9}}{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{3}.
  • Verificar convergência: -1<q<1 fica -1<\tfrac{1}{3}<1, OK.
  • Calcular a soma infinita: S_2=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\dfrac{\pi}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}=\frac{\dfrac{\pi}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\pi}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{\pi}{2}.
  • Portanto o argumento do seno é \dfrac{\pi}{2}. Em notação: \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{27}+\cdots\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right).

Passo 6

Calcular \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) e explicar.
  • \dfrac{\pi}{2} é 90^\circ. No triângulo retângulo ou no círculo unitário, o seno de 90^\circ é 1 porque a coordenada y no ponto (0,1) da circunferência unitária é 1. \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 7

Somar os resultados obtidos:
  • Temos \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} e \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • Portanto a expressão original vale \frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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