Dados: -\mathrm{Q}=20 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{h}=5,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
  • Tubos = PVC rígido ( \mathrm{C}=150 )
  • To da água =20^{\circ} \mathrm{C}
  • Altitude =600 \mathrm{~m}
  • Operação = contínua
  • Altura geométrica de sucção (hgs) =2 \mathrm{~m}
  • Comprimento da tubulação de sucção =10 \mathrm{~m}
  • Altura geométrica de recalque (hgr) =20 \mathrm{~m}
  • Comprimento da tubulação de recalque =400 \mathrm{~m}
  • Perdas de carga localizadas \cong 5 \% da perda de carga principal

Calcular:

a) Diâmetro da tubulação ( \mathrm{V}_{\max }=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} );
b) Indicar a resistência necessária da tubulação;
c) Bomba: Potência do motor (comercial);

Passo 1

O enunciado dá um escoamento de vazão e pede três coisas: (a) escolher o diâmetro da tubulação com base em uma velocidade máxima; (b) indicar a resistência hidráulica necessária da tubulação (perdas de carga); (c) escolher a potência comercial do motor que aciona a bomba.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão):
Q=20\\ \mathrm{m^3/h}=5,5\\ \mathrm{L/s}=0{,}0055\\ \mathrm{m^3/s} (vou usar \,0{,}0055\\ \mathrm{m^3/s}),
tubos: PVC rígido com coeficiente de Hazen–Williams C=150,
temperatura da água =20^\circ\mathrm{C} (usada para densidade/viscosidade se necessário),
altitude =600\\ \mathrm{m} (vou comentar efeito na densidade; é pequeno),
operação contínua,
altura geométrica de sucção h_{gs}=2\\ \mathrm{m},
comprimento da tubulação de sucção L_{suc}=10\\ \mathrm{m},
altura geométrica de recalque h_{gr}=20\\ \mathrm{m},
comprimento da tubulação de recalque L_{rec}=400\\ \mathrm{m},
perdas localizadas \approx 5\% da perda de carga principal,
velocidade máxima permitida \,V_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
Perguntas a responder:
  • (a) Diâmetro da tubulação tal que V \le V_{\max}.
  • (b) Indicar a resistência necessária (ou seja: perdas de carga principais e locais e a carga total a vencer).
  • (c) Potência do motor (comercial) necessária para operar (considerando eficiências e operação contínua).

Passo 2

Escolher o diâmetro a partir da condição de velocidade máxima.
Fórmula que relaciona vazão Q, velocidade média V e diâmetro d:
Q = V \cdot A = V \cdot \frac{\pi d^2}{4}.
Aqui:
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^3/s};
  • V é a velocidade média em \mathrm{m/s};
  • A é a área da seção transversal em \mathrm{m^2};
  • d é o diâmetro interno em \mathrm{m}.
Isolando d:
d = \sqrt{\frac{4Q}{\pi V}}.
Substituindo Q=0{,}0055\\ \mathrm{m^3/s} e V=V_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}:
d = \sqrt{\frac{4\cdot 0{,}0055}{\pi\cdot 3}} = \sqrt{\frac{0{,}022}{9{,}42477796}} \approx 0{,}0483\\ \mathrm{m} = 48{,}3\\ \mathrm{mm}.
Como na prática usamos diâmetros comerciais, escolhemos o próximo diâmetro comercial igual ou superior a 48{,}3\\ \mathrm{mm}. O mais próximo e prático é d=0{,}050\\ \mathrm{m} (tubulação DN50).
Verificação da velocidade com d=0{,}05\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} = 1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}0055}{1{,}9635\times10^{-3}} \approx 2{,}80\\ \mathrm{m/s},
que satisfaz V \le 3\\ \mathrm{m/s}. Portanto d=0{,}05\\ \mathrm{m} (DN50) é adequado.

Passo 3

Calcular as perdas de carga principais usando a fórmula de Hazen–Williams (já que foi dado C=150). Vou apresentar a fórmula e explicar as variáveis.
Fórmula de Hazen–Williams (forma usual para perda de carga total em metros):
h_f = 10{,}67 \cdot \frac{L \, Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852} \, d^{4{,}8704}},
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito (m) ao longo do comprimento L;
  • L é o comprimento da tubulação em metros;
  • Q é a vazão em \mathrm{m^3/s};
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional);
  • d é o diâmetro interno em metros.
Vou calcular separadamente para sucção e recalque com d=0{,}05\\ \mathrm{m} e Q=0{,}0055\\ \mathrm{m^3/s}.
Primeiro calculemos a componente Q^{1{,}852}, C^{1{,}852} e d^{4{,}8704} (mostro os números para você poder repetir na prova):
Q^{1{,}852} \approx (0{,}0055)^{1{,}852} \approx 6{,}528\times10^{-5}.
C^{1{,}852} \approx 150^{1{,}852} \approx 1{,}187\times10^{4}.
d^{4{,}8704} \approx (0{,}05)^{4{,}8704} \approx 4{,}660\times10^{-7}.
Agora sucção ( L_{suc}=10\\ \mathrm{m}):
h_{f,suc} = 10{,}67\cdot\frac{10\cdot 6{,}528\times10^{-5}}{1{,}187\times10^{4}\cdot 4{,}660\times10^{-7}} \approx 1{,}26\\ \mathrm{m}.
Agora recalque ( L_{rec}=400\\ \mathrm{m}):
h_{f,rec} = 10{,}67\cdot\frac{400\cdot 6{,}528\times10^{-5}}{1{,}187\times10^{4}\cdot 4{,}660\times10^{-7}} \approx 50{,}40\\ \mathrm{m}.
Perda de carga principal total (sucção + recalque):
h_{f,tot} = h_{f,suc} + h_{f,rec} \approx 1{,}26 + 50{,}40 = 51{,}66\\ \mathrm{m}.
Observação didática rápida: Hazen–Williams é empírica, simples de usar para água em tubos comuns e evita cálculo de fator de atrito de Darcy. Como te deram C, é o método natural aqui.

Passo 4

Incluir perdas localizadas (dado: aproximadamente 5\% da perda de carga principal).
h_{loc} = 0{,}05 \cdot h_{f,tot} = 0{,}05\cdot 51{,}66 \approx 2{,}58\\ \mathrm{m}.
Perda total por atrito + locais:
h_{perdas} = h_{f,tot} + h_{loc} \approx 51{,}66 + 2{,}58 = 54{,}24\\ \mathrm{m}.
Também é útil conhecer a perda por metro e por 100 m para caracterizar a “resistência” da tubulação:
comprimento total L_{tot} = 10 + 400 = 410\\ \mathrm{m}.
\text{Perda por metro} = \frac{h_{perdas}}{L_{tot}} \approx \frac{54{,}24}{410} \approx 0{,}1323\\ \mathrm{m/m}.
\text{Perda por 100 m} \approx 13{,}23\\ \mathrm{m/100\\ m}.
Esses números dizem quanta “resistência” hidráulica a tubulação apresenta.

Passo 5

Calcular a carga geométrica total a vencer pela bomba (diferença de cota entre superfície de sucção e recalque) e somar as perdas. Explicação: a bomba precisa vencer a elevação geométrica entre os dois níveis mais todas as perdas ao longo do circuito. Se o enunciado dá h_{gs}=2\\ \mathrm{m} (sucção) e h_{gr}=20\\ \mathrm{m} (recalque), a diferença de nível total entre superfície de sucção e superfície de recalque é:
\Delta z = h_{gs} + h_{gr} = 2 + 20 = 22\\ \mathrm{m},
porque conforme interpretado o pump está entre esses níveis (um topo + outro em relação ao nível do pump) — portanto a bomba deve elevar da superfície de sucção até a superfície de recalque.
A carga total a vencer (total dynamic head, H) é:
H = \Delta z + h_{perdas} = 22{,}0 + 54{,}24 = 76{,}24\\ \mathrm{m}.
(Arredondei para duas casas decimais quando apropriado.)

Passo 6

Calcular a potência hidráulica necessária e a potência do motor (comercial), considerando eficiências.
Fórmula da potência hidráulica (potência entregue ao fluido):
P_{hid} = \rho \, g \, Q \, H,
onde:
  • \rho é a densidade da água ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s}),
  • H é a carga total ( \mathrm{m}),
  • P_{hid} fica em Watts.
Valores usados: para água a 20^\circ\mathrm{C}, \rho \approx 998\\ \mathrm{kg/m^3}. A altitude de 600\\ \mathrm{m} tem efeito muito pequeno na densidade da água — podemos desprezar para este cálculo prático. g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Substituindo Q=0{,}0055\\ \mathrm{m^3/s} e H=76{,}24\\ \mathrm{m}:
P_{hid} = 998\cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0055 \cdot 76{,}24 \approx 4{,}105\\ \mathrm{kW}.
(Em Watts: \approx 4{,}105\times10^{3}\\ \mathrm{W}.)
Agora precisa-se de potência do motor considerando perdas de eficiência. É prático e conservador assumir:
  • eficiência hidráulica da bomba \eta_{b} entre 0{,}65 e 0{,}75 para bombas centrífugas pequenas; vou assumir \eta_{b}=0{,}70 (70%) como valor típico razoável;
  • eficiência do motor elétrico \eta_{m} cerca de 0{,}92 (92%) para motores comerciais modernos;
  • podemos também considerar um pequeno fator de segurança por operação contínua, mas normalmente escolhe-se um motor de potência comercial imediatamente acima do cálculo.
Potência na árvore do motor requerida:
P_{motor,req} = \frac{P_{hid}}{\eta_{b}\cdot \eta_{m}} = \frac{4{,}105}{0{,}70\cdot 0{,}92} \approx 6{,}37\\ \mathrm{kW}.
Como motores comerciais têm potências padronizadas (por exemplo 5{,}5\\ \mathrm{kW},\\\ 7{,}5\\ \mathrm{kW}, etc.), escolhemos o próximo standard acima para operação contínua e margem: 7{,}5\\ \mathrm{kW}.
Justificativa: 5{,}5\\ \mathrm{kW} é abaixo do 6{,}37\\ \mathrm{kW} necessário, portanto insuficiente; 7{,}5\\ \mathrm{kW} fornece margem (reduz risco de sobrecarga e funciona bem em operação contínua).

Passo 7

Resumo dos resultados e interpretação final (rápida recapitulação didática):
  • Diâmetro escolhido d=0{,}05\\ \mathrm{m} (DN50) dá velocidade \approx 2{,}80\\ \mathrm{m/s}, abaixo do V_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Perda de carga principal total (sucção + recalque) \approx 51{,}66\\ \mathrm{m}.
  • Perdas localizadas \approx 2{,}58\\ \mathrm{m} (5% das principais).
  • Perda total por atrito + locais \approx 54{,}24\\ \mathrm{m} (isto é a “resistência” da tubulação).
  • Carga geométrica total a vencer (elevação) \Delta z = 22{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Carga total a vencer pela bomba H \approx 76{,}24\\ \mathrm{m}.
  • Potência hidráulica necessária \approx 4{,}10\\ \mathrm{kW}.
  • Potência do motor requerida considerando eficiências \approx 6{,}37\\ \mathrm{kW}; escolher motor comercial de 7{,}5\\ \mathrm{kW} (contínuo).

Resposta

(a) d=0{,}05\\ \mathrm{m} (DN50), resultando em V\approx 2{,}80\\ \mathrm{m/s}.
(b) Perda de carga principal total h_{f,tot}\approx 51{,}66\\ \mathrm{m}; perdas localizadas h_{loc}\approx 2{,}58\\ \mathrm{m}; perda total h_{perdas}\approx 54{,}24\\ \mathrm{m}. Perda por metro \approx 0{,}1323\\ \mathrm{m/m} (≈13,23 m/100 m). Carga total a vencer H\approx 76{,}24\\ \mathrm{m}.
(c) Potência hidráulica P_{hid}\approx 4{,}10\\ \mathrm{kW}. Potência de motor requerida (assumindo \eta_b=70\% e \eta_m=92\%) \approx 6{,}37\\ \mathrm{kW}. Motor comercial recomendado: 7{,}5\\ \mathrm{kW}.

Exercícios relacionados