Uma estação elevatória deve recalcar água limpa a 20^{\circ} \mathrm{C} de um reservatório inferior para outro superior. O sistema opera com duas bombas centrífugas idênticas, que podem trabalhar individualmente ou em paralelo.
Dados do sistema
  • Vazão total desejada: \mathrm{Q}_{\mathrm{T}}=40 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}
  • Tubulação: PVC rígido ( \mathrm{C}=150 )
  • Altura geométrica de sucção: \mathrm{h}_{\mathrm{gs}}=3 \mathrm{~m}
  • Comprimento da sucção: \mathrm{L}_{\mathrm{s}}=8 \mathrm{~m}
  • Altura geométrica de recalque: \mathrm{h}_{\mathrm{gr}}=18 \mathrm{~m}
  • Comprimento do recalque: \mathrm{L}_{\mathrm{r}}=300 \mathrm{~m}
  • Perdas localizadas: 10 % das perdas distribuídas
  • Operação: contínua
  • Rendimento global do conjunto (bomba + motor): \eta=70 \%
  • Material da tubulação: PVC rígido (\mathrm{C}=150)
  • Temperatura da água: 20^{\circ} \mathrm{C}
Cada bomba possui os seguintes dados nominais:
Vazão nominal \left(\mathrm{Q}_{\mathrm{n}}\right)=20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}; Altura manométrica nominal \left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}}\right)=24 \mathrm{~m}; Potência no eixo = 1,2 \mathrm{~kW}; Rotação =1750 \mathrm{rpm}
a) Calcular o diâmetro econômico da tubulação de recalque;
b) Determinar a altura manométrica total do sistema;
c) Calcular a potência necessária do motor para:
  • uma bomba operando sozinha;
  • duas bombas em paralelo;

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular o diâmetro econômico da tubulação de recalque.
  • (b) Determinar a altura manométrica total do sistema (para a vazão total desejada).
  • (c) Calcular a potência necessária do motor para: (i) uma bomba operando sozinha; (ii) duas bombas em paralelo.
Dados relevantes fornecidos (vou listar tudo para não perder nada):
  • Vazão total desejada: Q_{T}=40\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Tubulação: PVC rígido, C=150.
  • Altura geométrica de sucção: h_{gs}=3\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da sucção: L_{s}=8\\ \mathrm{m}.
  • Altura geométrica de recalque: h_{gr}=18\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do recalque: L_{r}=300\\ \mathrm{m}.
  • Perdas localizadas: 10\% das perdas distribuídas.
  • Operação: contínua.
  • Rendimento global do conjunto (bomba + motor): \eta=70\%.
  • Cada bomba: Q_{n}=20\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}, H_{n}=24\\ \mathrm{m}, potência no eixo =1{,}2\\ \mathrm{kW}, rotação =1750\\ \mathrm{rpm}.
  • Temperatura da água: 20^\circ\mathrm{C} (usaremos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
Observação importante: para os cálculos de perda por atrito usarei a fórmula de Hazen–Williams na forma usual em unidades SI:
h_f \;=\; 10{,}67 \; \frac{L\, Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, d^{4{,}87}}
onde h_f está em metros, L em metros, Q em \mathrm{m^3/s} e d em metros.

Passo 2

Escolha do critério para diâmetro econômico e cálculo do diâmetro.
Explicação didática curta: “diâmetro econômico” normalmente é obtido equilibrando custo inicial (tubo maior) e custo de operação (perdas maiores em tubos menores). Na prática de projeto hidráulico de água potável costuma-se adotar velocidades comerciais que dão boa economia entre 1 e 2\\ \mathrm{m/s}. Vou adotar uma velocidade econômica de projeto v=1{,}5\\ \mathrm{m/s} (valor típico e razoável para PVC rígido).
Cálculo do diâmetro a partir da velocidade (fórmula básica):
Q = v \cdot A = v \cdot \frac{\pi d^{2}}{4}
portanto
d = \sqrt{\frac{4Q}{\pi v}}.
Conversão da vazão total para \mathrm{m^3/s}:
Q_{T}=\frac{40}{3600}=0{,}011111\\ \mathrm{m^3/s}.
Aplicando a fórmula com v=1{,}5\\ \mathrm{m/s}:
d = \sqrt{\frac{4\cdot 0{,}011111}{\pi\cdot 1{,}5}} \;=\; 0{,}09707\\ \mathrm{m}\approx 0{,}097\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: d\approx 0{,}097\\ \mathrm{m} corresponde ao diâmetro comercial mais próximo de PVC, que é 100\\ \mathrm{mm} (DN100). Portanto escolhemos d=0{,}10\\ \mathrm{m} (DN100) como diâmetro econômico comercial.

Passo 3

Cálculo detalhado das perdas por atrito (distribuídas) e das perdas localizadas; depois a altura manométrica total para a vazão total Q_T.
Primeiro, recomputar algumas grandezas usadas na fórmula de Hazen–Williams:
  • Q_{T}=0{,}011111\\ \mathrm{m^3/s}.
  • C^{1{,}852}=150^{1{,}852}. Numericamente C^{1{,}852}\approx 1{,}0722\times 10^{4}.
  • Diâmetro escolhido d=0{,}09707\\ \mathrm{m}. Calcule d^{4{,}87}. Numericamente d^{4{,}87}\approx 1{,}166\times 10^{-5}.
Agora a fórmula de Hazen–Williams por trecho (uso a forma direta):
h_{f} = 10{,}67\\ \frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, d^{4{,}87}}.
Cálculo para o trecho de recalque ( L_{r}=300\\ \mathrm{m}):
  • Calculo intermediário de Q^{1{,}852} com Q=0{,}011111: Q^{1{,}852}\approx 2{,}408\times 10^{-4}.
  • Numerador: 10{,}67\cdot 300 \cdot 2{,}408\times 10^{-4}\approx 0{,}7713.
  • Denominador: C^{1{,}852}\, d^{4{,}87}\approx 1{,}0722\times 10^{4}\cdot 1{,}166\times 10^{-5}\approx 0{,}1251.
h_{f,r} \approx \frac{0{,}7713}{0{,}1251}\approx 6{,}165\\ \mathrm{m}.
Cálculo para o trecho de sucção ( L_{s}=8\\ \mathrm{m}):
  • Numerador: 10{,}67\cdot 8 \cdot 2{,}408\times 10^{-4}\approx 0{,}02056.
h_{f,s} \approx \frac{0{,}02056}{0{,}1251}\approx 0{,}1644\\ \mathrm{m}.
Somando as perdas distribuídas:
h_{f,\text{dist}} = h_{f,r}+h_{f,s} \approx 6{,}165 + 0{,}1644 = 6{,}3294\\ \mathrm{m}.
Perdas localizadas informadas como 10\% das perdas distribuídas:
h_{f,\text{loc}} = 0{,}1\cdot h_{f,\text{dist}} \approx 0{,}63294\\ \mathrm{m}.
Perdas totais por atrito (distribuídas + localizadas):
h_{f,\text{total}} = h_{f,\text{dist}} + h_{f,\text{loc}} \approx 6{,}3294 + 0{,}63294 = 6{,}96234\\ \mathrm{m}.
Altura geométrica estática (diferença de níveis entre reservatórios, usando os dados dados):
h_{\text{estática}} = h_{gr} - h_{gs} = 18 - 3 = 15\\ \mathrm{m}.á
Altura manométrica total do sistema (para Q_T):
H_{\text{total}} = h_{\text{estática}} + h_{f,\text{total}} \approx 15 + 6{,}96234 = 21{,}96234\\ \mathrm{m}.á
Arredondando: H_{\text{total}}\approx 21{,}96\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida: essa é a carga (altura) que a bomba precisa vencer quando o sistema opera com 40\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 4

Cálculo da potência necessária quando uma bomba opera sozinha.
Quando uma bomba opera sozinha ela fornece metade da vazão total:
Q_{\text{1 bomba}} = \frac{Q_T}{2} = \frac{40}{2}=20\\ \mathrm{m^3/h} = 0{,}0055556\\ \mathrm{m^3/s}.
Importante didático: as perdas por atrito não escalam linearmente com Q; pela fórmula de Hazen–Williams h_f\propto Q^{1{,}852}. Assim podemos usar fator de escala
\text{fator} = \left(\frac{Q_{\text{1 bomba}}}{Q_{T}}\right)^{1{,}852} = (0{,}5)^{1{,}852}\approx 0{,}2770.
Portanto as perdas distribuídas e localizadas para a operação com uma bomba são:
  • h_{f,r}^{(1)} = 6{,}165 \times 0{,}2770 \approx 1{,}707\\ \mathrm{m}.
  • h_{f,s}^{(1)} = 0{,}1644 \times 0{,}2770 \approx 0{,}0455\\ \mathrm{m}.
  • h_{f,\text{dist}}^{(1)} = 1{,}707 + 0{,}0455 = 1{,}7525\\ \mathrm{m}.
  • h_{f,\text{loc}}^{(1)} = 0{,}1\cdot 1{,}7525 = 0{,}17525\\ \mathrm{m}.
  • h_{f,\text{total}}^{(1)} = 1{,}7525 + 0{,}17525 = 1{,}92775\\ \mathrm{m}.
Altura manométrica total com uma bomba:
H^{(1)} = h_{\text{estática}} + h_{f,\text{total}}^{(1)} \approx 15 + 1{,}92775 = 16{,}92775\\ \mathrm{m}.á
Potência hidráulica (eixo) requerida da bomba (potência útil no eixo):
P_{\text{eixo}} = \rho\, g\, Q_{\text{1 bomba}}\, H^{(1)}.
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q_{\text{1 bomba}}=0{,}0055556\\ \mathrm{m^3/s}, H^{(1)}\approx 16{,}92775\\ \mathrm{m}:
P_{\text{eixo}} \approx 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0055556\cdot 16{,}92775 \approx 922{,}6\\ \mathrm{W} \approx 0{,}923\\ \mathrm{kW}.
Potência elétrica do motor (rendimento global \eta=0{,}70):
P_{\text{motor}}^{(1)} = \frac{P_{\text{eixo}}}{\eta} \approx \frac{0{,}9226}{0{,}70}\approx 1{,}318\\ \mathrm{kW}.
Arredondando: P_{\text{motor}}^{(1)}\approx 1{,}32\\ \mathrm{kW}.
Breve comentário: o dado nominal da bomba era potência no eixo =1{,}2\\ \mathrm{kW}. Nosso cálculo mostra que, nas condições de uma bomba sozinha (elevada cabeça), a potência no eixo calculada é cerca de 0{,}923\\ \mathrm{kW} — consistente (um pouco menor) com o valor nominal informado.

Passo 5

Cálculo da potência necessária quando duas bombas operam em paralelo.
Quando as duas bombas estão em paralelo, a vazão total é Q_T=40\\ \mathrm{m^3/h} e cada bomba fornece metade: Q_{\text{cada}}=20\\ \mathrm{m^3/h}=0{,}0055556\\ \mathrm{m^3/s}. Em paralelo as bombas trabalham na mesma altura manométrica do sistema para Q_T; ou seja, cada bomba deve fornecer a cabeça calculada para o fluxo total H_{\text{total}} (passo 3), que é maior que a cabeça para uma bomba isolada.
Usamos H_{\text{total}}\approx 21{,}96234\\ \mathrm{m} (valor do Passo 3).
Potência no eixo por bomba:
P_{\text{eixo, cada}} = \rho\, g\, Q_{\text{cada}}\, H_{\text{total}}.
Substituindo:
P_{\text{eixo, cada}} \approx 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0055556\cdot 21{,}96234 \approx 1196{,}9\\ \mathrm{W}\approx 1{,}197\\ \mathrm{kW}.
Potência do motor por bomba (considerando \eta=0{,}70):
P_{\text{motor, cada}} = \frac{1{,}197}{0{,}70} \approx 1{,}710\\ \mathrm{kW}.
Potência elétrica total do conjunto com duas bombas (soma das duas):
P_{\text{motor, total}} = 2\cdot P_{\text{motor, cada}} \approx 2\cdot 1{,}710 \approx 3{,}420\\ \mathrm{kW}.
Observação prática: a potência no eixo calculada por bomba em operação paralela ( \approx 1{,}197\\ \mathrm{kW}) fica praticamente igual ao dado nominal do eixo da bomba ( 1{,}2\\ \mathrm{kW}), o que indica coerência entre os dados nominais e o sistema projetado.

Resposta

(a) Diâmetro econômico: d\approx 0{,}10\\ \mathrm{m} (DN100).\n(b) Altura manométrica total (para Q_{T}=40\\ \mathrm{m^3/h}): H_{\text{total}}\approx 21{,}96\\ \mathrm{m}.\n(c) Potência do motor:\n- uma bomba operando sozinha: P_{\text{motor}}\approx 1{,}32\\ \mathrm{kW}.\n- duas bombas em paralelo: P_{\text{motor, total}}\approx 3{,}42\\ \mathrm{kW} (ou P_{\text{motor, cada}}\approx 1{,}71\\ \mathrm{kW} por bomba).

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