Uma estação elevatória deve recalcar água limpa ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) de um reservatório inferior para um reservatório superior. Para atingir a altura necessária, serão usadas duas bombas centrífugas idênticas montadas em série. O sistema pode operar com uma só bomba (em emergência) ou com as duas em série (regime normal).
Dados do sistema
  • Vazão requerida ( Q ): 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} (vazão do sistema; quando duas bombas em série operam, a vazão do sistema é igual à vazão de cada bomba).
  • Tubulação de recalque: PVC rígido ( \mathrm{C}=150 )
  • Comprimento da tubulação de recalque \mathrm{L}_{\mathrm{r}}=250 \mathrm{~m}
  • Comprimento da sucção \mathrm{L}_{\mathrm{s}}=10 \mathrm{~m}
  • Altura geométrica de sucção \mathrm{h}_{\mathrm{gs}}=3 \mathrm{~m}
  • Altura geométrica de recalque \mathrm{h}_{\mathrm{gr}}=35 \mathrm{~m}
  • Perdas localizadas \mathrm{h}_{\text {loc }} : 8 \% das perdas distribuídas (somadas)
  • Altitude: 600 m (usar apenas se necessário)
  • Operação: contínua
  • Rendimento global do conjunto bomba+motor: \eta=72 \%
  • Temperatura da água: 20^{\circ} \mathrm{C}
Cada bomba possui os seguintes dados nominais:
Vazão nominal Q_{n}=30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}; Altura manométrica nominal \mathrm{H}_{\mathrm{n}}: 20 \mathrm{~m} (essa é a altura fornecida por uma bomba à vazão nominal) ; Rendimento hidráulico da bomba: 78 % ; Potência no eixo (enfatizada como nominal): 2,0 \mathrm{~kW}; Rotação: 1750 rpm
Observação: A curva característica não é fornecida - use os dados nominais assumindo que uma bomba, sozinha, fornece 20 m de cabeça na vazão de 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Em série, as alturas somam aproximadamente (idealmente \mathrm{H}_{\text {total }} \approx 2 \times \mathrm{H}_{\text {bomba }} na mesma vazão), e a vazão permanece 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}.
a) Calcular o diâmetro econômico da tubulação de recalque (faça uma hipótese inicial de D e justifique; calcule perdas por atrito pelo Hazen-Williams e ajuste se necessário).
b) Determinar as perdas por atrito \mathrm{h}_{\mathrm{fh}} \mathrm{e} as perdas localizadas \mathrm{h}_{\text {loc }} para a vazão de projeto ( 30 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} ). (Use Hazen-Williams):
c) Calcular a Altura Manométrica Total do sistema para:
  • Uma bomba operando sozinha (emergência) - considerar a bomba fornecendo 20 m à vazão de 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h};
  • Duas bombas em série - considerar que as alturas se somam:
    d) Calcular a potência hidráulica e potência do motor necessária para:
  • Uma bomba operando sozinha;
  • Duas bombas em série.
    e) Indicar a bitola comercial recomendada da tubulação e uma potência comercial do motor:

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido (sem resolver ainda).
Dados (vou escrever em unidades e símbolos que vou usar):
\begin{aligned} &Q=30\\ \mathrm{m^3/h}= \frac{30}{3600}=0{,}0083333\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &L_r=250\\ \mathrm{m}\quad(\text{tubulação de recalque}),\\\ &L_s=10\\ \mathrm{m}\quad(\text{tubulação de sucção}),\\\ &L_{\text{total}}=L_s+L_r=260\\ \mathrm{m},\\\ &h_{gs}=3\\ \mathrm{m},\quad h_{gr}=35\\ \mathrm{m},\\\ &\text{perdas localizadas }h_{\text{loc}} = 0{,}08\\ (\text{das perdas distribuídas somadas}),\\\ &C=150\quad(\text{coeficiente Hazen–Williams para PVC rígido}),\\\ &\eta_{\text{global}}=72\%=0{,}72\quad(\text{rendimento conjunto bomba+motor}),\\\ &\text{dados nominais da bomba: }Q_n=30\\ \mathrm{m^3/h},\\ H_n=20\\ \mathrm{m},\\\ &\text{rendimento hidráulico da bomba }=78\%=0{,}78,\\\ &\rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3},\\ g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}çãçãçãííá
O que o exercício pede (resumido):
  • (a) escolher e justificar um diâmetro econômico D para a tubulação de recalque (hipótese e ajuste via Hazen–Williams).
  • (b) calcular perdas por atrito h_{fh} e perdas localizadas h_{\text{loc}} na vazão de projeto Q (usar Hazen–Williams).
  • (c) calcular a altura manométrica total do sistema para os dois casos: uma bomba sozinha (usar H=20\\ \mathrm{m} para essa bomba) e duas em série (alturas somam).
  • (d) calcular potência hidráulica e potência do motor para os dois casos.
  • (e) indicar bitola comercial recomendada e potência comercial do motor.
Observações aceitas (não pedidas): vou tratar a sucção como tubulação com as mesmas características (mesmo C) para calcular perdas por atrito ao longo dos L_s e L_r. A partir daqui começo a resolução.

Passo 2

Vou apresentar a fórmula que vou usar para perdas por atrito (Hazen–Williams) e explicar cada termo, para você entender bem.
Fórmula Hazen–Williams no sistema SI (comprimento em m, vazão em m^3/s, diâmetro em m):
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}871}}.
Explicando:
  • h_f é a perda por atrito (m) ao longo de um trecho de comprimento L (m).
  • L é o comprimento do trecho considerado (m).
  • Q é a vazão (m^3/s).
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), para PVC rígido C=150.
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m).
  • As potências 1{,}852 e 4{,}871 são constantes empíricas da fórmula.
Observação didática rápida: a fórmula mostra que h_f cresce fortemente quando D diminui (aproximadamente como D^{-4{,}87}) e cresce com L. Para projeto econômico procuramos velocidade razoável (não muito alta, nem muito baixa) – regra prática: velocidades entre 1{,}0 e 2{,}0\\ \mathrm{m/s} costumam ser econômicas em redes de recalque de água limpa (evitam perdas excessivas e não exigem tubulações exageradas). Vou usar essa regra para a hipótese inicial de D.

Passo 3

Hipótese inicial de diâmetro (justificativa com velocidade):
Faço a hipótese inicial de D=0{,}075\\ \mathrm{m} (75 mm) porque é comum tentar uma bitola que dê velocidade entre 1 e 2\\ \mathrm{m/s} para a vazão dada. Vou calcular a velocidade e ver se está dentro do intervalo.
Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}075)^2}{4}=0{,}004418\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0083333}{0{,}004418}=1{,}887\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: v\approx1{,}89\\ \mathrm{m/s} está dentro do intervalo aceitável. Agora calculo as perdas por atrito totais usando Hazen–Williams para o comprimento total L_{\text{total}}=260\\ \mathrm{m}:
Calculos auxiliares (vou escrever os passos numéricos):
Q^{1{,}852}=(0{,}0083333)^{1{,}852}\approx 1{,}406\times10^{-4},
C^{1{,}852}=150^{1{,}852}\approx 1{,}0776\times10^{4},
D^{4{,}871}=(0{,}075)^{4{,}871}\approx 3{,}30\times10^{-6}.
Aplicando Hazen–Williams (trecho total):
h_{f,\text{total}}=10{,}67\;\frac{260\cdot 1{,}406\times10^{-4}}{1{,}0776\times10^{4}\cdot 3{,}30\times10^{-6}} \approx 10{,}97\\ \mathrm{m}.
Perdas localizadas (8% das perdas distribuídas):
h_{\text{loc}}=0{,}08\cdot h_{f,\text{total}}=0{,}08\cdot 10{,}97 \approx 0{,}878\\ \mathrm{m}.
Total perdas hidráulicas (distribuídas + localizadas):
h_{\text{perdas}}=h_{f,\text{total}}+h_{\text{loc}}\approx 10{,}97+0{,}878=11{,}85\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Avaliação da hipótese inicial e necessidade de ajuste do diâmetro:
Agora verifico se com esse D=0{,}075\\ \mathrm{m} o conjunto de duas bombas em série (cada uma com H_n=20\\ \mathrm{m}) é suficiente para vencer a carga total do sistema.
A carga geométrica (diferença entre superfícies) é:
\Delta z = h_{gr}+h_{gs}=35+3=38\\ \mathrm{m}.
A carga total exigida pelo sistema (estática + perdas hidráulicas) será:
H_{\text{req}}=\Delta z + h_{f,\text{total}} + h_{\text{loc}} =38 + 11{,}85 =49{,}85\\ \mathrm{m}.
Comparação com bombas:
  • Uma bomba fornece H=20\\ \mathrm{m} (insuficiente).
  • Duas bombas em série fornecem aproximadamente 2\times 20=40\\ \mathrm{m}.
Conclusão: com D=0{,}075\\ \mathrm{m} o sistema exigiria 49{,}85\\ \mathrm{m} e duas bombas só dão 40\\ \mathrm{m} — portanto D=0{,}075\\ \mathrm{m} é insuficiente. É preciso aumentar D (diminuir perdas de atrito) até que
\Delta z + 1{,}08\; h_f(D) \le 40\\ \mathrm{m},
onde 1{,}08 vem de incluir as perdas localizadas ( h_{\text{loc}}=0{,}08\;h_f).
Isolando h_f máximo admissível:
1{,}08\; h_{f,\max} \le 40-38 =2\\ \Rightarrow h_{f,\max} \le \frac{2}{1{,}08}\approx 1{,}85185\\ \mathrm{m}.
Ou seja, as perdas distribuídas totais (nos 260\\ \mathrm{m}) não podem exceder cerca de 1{,}852\\ \mathrm{m} se queremos que duas bombas (40 m) sejam suficientes.

Passo 5

Cálculo do diâmetro necessário para que h_f\le 1{,}85185\\ \mathrm{m} (resolução numérica analítica):
A fórmula Hazen–Williams rearranjada:
h_f = 10{,}67\; \frac{L_{\text{total}}\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}871}} \quad\Longrightarrow\quad D^{4{,}871} = 10{,}67\; \frac{L_{\text{total}}\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; h_f}.
Defino a constante (numérica):
A = 10{,}67\;\frac{L_{\text{total}}\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}} \approx 3{,}619\times10^{-5}.
Logo para h_{f,\max}=1{,}85185\\ \mathrm{m}:
D = \left(\frac{A}{h_{f,\max}}\right)^{1/4{,}871} = \left(\frac{3{,}619\times10^{-5}}{1{,}85185}\right)^{1/4{,}871} \approx 0{,}108\\ \mathrm{m}.
Por segurança de projeto e arredondamento prático eu escolho como diâmetro econômico (valor calculado) aproximadamente:
\boxed{D_{\text{econ}}\approx 0{,}11\\ \mathrm{m}\quad(110\\ \mathrm{mm})}.
Comentário: D\approx0{,}11\\ \mathrm{m} é o diâmetro que reduz as perdas distribuídas para cerca de 1{,}70 1{,}85\\ \mathrm{m} dependendo do arredondamento; dá velocidade baixa (cerca de 0{,}9\\ \mathrm{m/s}), o que é econômico. Como bitola comercial padrão nem sempre existe exatamente 110\\ \mathrm{mm}, vou comentar a bitola comercial recomendada no passo final.

Passo 6

Agora recomputo as perdas por atrito e localizadas para a vazão de projeto adotando D=0{,}11\\ \mathrm{m} (valores numéricos com 3 casas significativas).
Cálculos auxiliares para D=0{,}11\\ \mathrm{m}:
D^{4{,}871}=(0{,}11)^{4{,}871}\approx 2{,}13\times10^{-5}.
Aplicando Hazen–Williams no comprimento total 260\\ \mathrm{m}:
h_{f,\text{total}}=10{,}67\;\frac{260\cdot (0{,}0083333)^{1{,}852}}{150^{1{,}852}\cdot (0{,}11)^{4{,}871}} \approx 1{,}700\\ \mathrm{m}.
Perdas localizadas:
h_{\text{loc}}=0{,}08\cdot h_{f,\text{total}} \approx 0{,}08\cdot 1{,}700 =0{,}136\\ \mathrm{m}.
Dividindo as perdas distribuídas entre recalque e sucção (proporcional aos comprimentos):
h_{f,r} = h_{f,\text{total}}\cdot\frac{L_r}{L_{\text{total}}} =1{,}700\cdot\frac{250}{260}\approx 1{,}634\\ \mathrm{m},
h_{f,s} = 1{,}700 - 1{,}634 \approx 0{,}066\\ \mathrm{m}.
(As perdas localizadas foram calculadas sobre o somatório; se precisar, podem ser distribuídas proporcionalmente, mas não é obrigatório.)
Resumo numérico (para D=0{,}11\\ \mathrm{m}):
h_{f,\text{total}}\approx 1{,}700\\ \mathrm{m},\qquad h_{\text{loc}}\approx 0{,}136\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo da Altura Manométrica Total do sistema (H_req) e comparação com bombas:
A carga geométrica (diferença de nível):
\Delta z = h_{gr}+h_{gs}=35+3=38\\ \mathrm{m}.
Perdas totais hidráulicas (distribuídas + localizadas) com D=0{,}11\\ \mathrm{m}:
h_{\text{perdas}}=h_{f,\text{total}}+h_{\text{loc}} \approx 1{,}700 + 0{,}136 = 1{,}836\\ \mathrm{m}.
Logo a altura manométrica total requerida pelo sistema é:
H_{\text{req}} = \Delta z + h_{\text{perdas}} \approx 38 + 1{,}836 = 39{,}836\\ \mathrm{m}.
Comparação com as bombas:
  • Uma bomba sozinha (emergência) fornece H_{\text{bomba}}=20\\ \mathrm{m}. Logo uma bomba NÃO consegue atender o sistema (pois 20 < 39{,}84\\ \mathrm{m}).
  • Duas bombas em série fornecem aproximadamente 2\times 20 = 40\\ \mathrm{m}, que é ligeiramente maior que H_{\text{req}}\approx 39{,}84\\ \mathrm{m}. Portanto, com D\approx0{,}11\\ \mathrm{m} duas bombas em série conseguem vencer a carga com pequena margem.

Passo 8

Cálculo das potências hidráulica e elétrica (motor) para os dois casos.
Fórmulas:
  • Potência hidráulica (energia por unidade de tempo) entregue à água:
P_h = \rho g Q H,
com Q em \mathrm{m^3/s}, H em m, P_h em W.
  • Potência elétrica do motor necessária (entrando na bomba+motor), considerando rendimento global \eta_{\text{global}}:
P_{\text{motor}} = \frac{P_h}{\eta_{\text{global}}}.
Cálculo numérico (use \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, Q=0{,}0083333\\ \mathrm{m^3/s}):
  1. Uma bomba operando sozinha (usar H=20\\ \mathrm{m} conforme enunciado):
P_{h,1} = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0083333 \cdot 20 \approx 1{,}635\\ \mathrm{kW}.
Potência elétrica necessária (conjunto bomba+motor):
P_{\text{motor},1} = \frac{1{,}635}{0{,}72} \approx 2{,}27\\ \mathrm{kW}.
  1. Duas bombas em série (cada bomba fornece \approx 20\\ \mathrm{m}; a carga total H_{\text{req}}\approx 39{,}84\\ \mathrm{m} é vencida pelas duas juntas). A potência hidráulica total entregue (às duas bombas somadas) é:
P_{h,\text{total}} = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0083333 \cdot 39{,}836 \approx 3{,}255\\ \mathrm{kW}.
Por simetria, cada bomba fornece cerca de metade da potência hidráulica total (cada uma fornece H\approx20\\ \mathrm{m}):
P_{h,\text{por bomba}} \approx \frac{3{,}255}{2}\approx 1{,}628\\ \mathrm{kW}.
Potência elétrica por bomba (usando \eta_{\text{global}}=0{,}72):
P_{\text{motor,por bomba}} = \frac{1{,}628}{0{,}72}\approx 2{,}26\\ \mathrm{kW}.
Comentário prático: valores por bomba ficam em torno de 2{,}26\\ \mathrm{kW} (é o que cada motor teria de fornecer). Como motores comerciais têm potências padronizadas, escolhe-se o próximo padrão disponível.

Passo 9

Escolha da bitola comercial e potência comercial do motor (recomendações práticas):
  • Diâmetro econômico calculado: D_{\text{econ}}\approx 0{,}11\\ \mathrm{m} (110 mm). Em termos comerciais de PVC rígido, o diâmetro imediatamente superior e comumente disponível é \text{DN }125 (0{,}125 m) — isso dá margem adicional de perdas menores e é uma escolha segura e prática. Portanto recomendo tubulação comercial: DN 125 (PVC rígido).
  • Potência comercial do motor por bomba: cálculo deu P_{\text{motor,por bomba}}\approx 2{,}26\\ \mathrm{kW}. O próximo motor comercial padronizado que garante margem segura é normalmente 3{,}0\\ \mathrm{kW} (ou, se for aceitável uma margem estreita, 2{,}2\\ \mathrm{kW} poderia ser tentado, mas é ligeiramente abaixo do requerido calculado). Recomendo escolher motor comercial de 3{,}0\\ \mathrm{kW} por bomba (1750 rpm, compatível com a rotação da bomba), para ter margem de segurança e evitar operação contínua à capacidade máxima do motor.

Resposta

Diâmetro econômico calculado: D_{\text{econ}}\approx 0{,}11\\ \mathrm{m} (110 mm).
Perdas por atrito (para D=0{,}11\\ \mathrm{m}, L_{\text{total}}=260\\ \mathrm{m}): h_{fh}\approx 1{,}700\\ \mathrm{m}.
Perdas localizadas: h_{\text{loc}}\approx 0{,}136\\ \mathrm{m}.
Altura manométrica total requerida pelo sistema: H_{\text{req}}\approx 39{,}84\\ \mathrm{m}.
Altura fornecida por uma bomba (dados nominais): H_{1}=20\\ \mathrm{m} (insuficiente).
Altura fornecida por duas bombas em série: H_{2}\approx 40\\ \mathrm{m} (suficiente, ligeira margem).
Potência hidráulica (uma bomba, H=20\\ \mathrm{m}): P_{h,1}\approx 1{,}635\\ \mathrm{kW}.
Potência elétrica requerida por bomba ( \eta_{\text{global}}=0{,}72): P_{\text{motor,por bomba}}\approx 2{,}26\\ \mathrm{kW}.
Potência hidráulica total (duas bombas, H_{\text{req}}\approx 39{,}84\\ \mathrm{m}): P_{h,\text{total}}\approx 3{,}255\\ \mathrm{kW}.
Bitola comercial recomendada: DN 125 (PVC rígido).
Potência comercial recomendada do motor por bomba: 3{,}0\\ \mathrm{kW} (1750 rpm).

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