Uma estação elevatória deve recalcar água limpa (
) de um reservatório inferior para um reservatório superior. Para atingir a altura necessária, serão usadas duas bombas centrífugas idênticas montadas em série. O sistema pode operar com uma só bomba (em emergência) ou com as duas em série (regime normal).
Dados do sistema
- Vazão requerida ( Q ):
(vazão do sistema; quando duas bombas em série operam, a vazão do sistema é igual à vazão de cada bomba).
- Tubulação de recalque: PVC rígido (
)
- Comprimento da tubulação de recalque
- Comprimento da sucção
- Altura geométrica de sucção
- Altura geométrica de recalque
- Perdas localizadas
:
das perdas distribuídas (somadas)
- Altitude: 600 m (usar apenas se necessário)
- Operação: contínua
- Rendimento global do conjunto bomba+motor:
- Temperatura da água:
Cada bomba possui os seguintes dados nominais:
Vazão nominal
; Altura manométrica nominal
(essa é a altura fornecida por uma bomba à vazão nominal) ; Rendimento hidráulico da bomba: 78 % ; Potência no eixo (enfatizada como nominal):
; Rotação: 1750 rpm
Observação: A curva característica não é fornecida - use os dados nominais assumindo que uma bomba, sozinha, fornece 20 m de cabeça na vazão de
. Em série, as alturas somam aproximadamente (idealmente
na mesma vazão), e a vazão permanece
.
a) Calcular o diâmetro econômico da tubulação de recalque (faça uma hipótese inicial de D e justifique; calcule perdas por atrito pelo Hazen-Williams e ajuste se necessário).
b) Determinar as perdas por atrito
as perdas localizadas
para a vazão de projeto ( 30
). (Use Hazen-Williams):
c) Calcular a Altura Manométrica Total do sistema para:
- Uma bomba operando sozinha (emergência) - considerar a bomba fornecendo 20 m à vazão de
;
- Duas bombas em série - considerar que as alturas se somam:
d) Calcular a potência hidráulica e potência do motor necessária para:
- Uma bomba operando sozinha;
- Duas bombas em série.
e) Indicar a bitola comercial recomendada da tubulação e uma potência comercial do motor:
Dados do sistema
Observação: A curva característica não é fornecida - use os dados nominais assumindo que uma bomba, sozinha, fornece 20 m de cabeça na vazão de
a) Calcular o diâmetro econômico da tubulação de recalque (faça uma hipótese inicial de D e justifique; calcule perdas por atrito pelo Hazen-Williams e ajuste se necessário).
b) Determinar as perdas por atrito
c) Calcular a Altura Manométrica Total do sistema para:
d) Calcular a potência hidráulica e potência do motor necessária para:
e) Indicar a bitola comercial recomendada da tubulação e uma potência comercial do motor:
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido (sem resolver ainda).
Dados (vou escrever em unidades e símbolos que vou usar):
O que o exercício pede (resumido):
- (a) escolher e justificar um diâmetro econômico
para a tubulação de recalque (hipótese e ajuste via Hazen–Williams). - (b) calcular perdas por atrito
e perdas localizadas na vazão de projeto (usar Hazen–Williams). - (c) calcular a altura manométrica total do sistema para os dois casos: uma bomba sozinha (usar
para essa bomba) e duas em série (alturas somam). - (d) calcular potência hidráulica e potência do motor para os dois casos.
- (e) indicar bitola comercial recomendada e potência comercial do motor.
Observações aceitas (não pedidas): vou tratar a sucção como tubulação com as mesmas características (mesmo
) para calcular perdas por atrito ao longo dos
e
. A partir daqui começo a resolução.
Passo 2
Vou apresentar a fórmula que vou usar para perdas por atrito (Hazen–Williams) e explicar cada termo, para você entender bem.
Fórmula Hazen–Williams no sistema SI (comprimento em m, vazão em m^3/s, diâmetro em m):
Explicando:
-
é a perda por atrito (m) ao longo de um trecho de comprimento (m). -
é o comprimento do trecho considerado (m). -
é a vazão (m^3/s). -
é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), para PVC rígido . -
é o diâmetro interno da tubulação (m). - As potências
e são constantes empíricas da fórmula.
Observação didática rápida: a fórmula mostra que
cresce fortemente quando
diminui (aproximadamente como
) e cresce com
. Para projeto econômico procuramos velocidade razoável (não muito alta, nem muito baixa) – regra prática: velocidades entre
e
costumam ser econômicas em redes de recalque de água limpa (evitam perdas excessivas e não exigem tubulações exageradas). Vou usar essa regra para a hipótese inicial de
.
Passo 3
Hipótese inicial de diâmetro (justificativa com velocidade):
Faço a hipótese inicial de
(75 mm) porque é comum tentar uma bitola que dê velocidade entre
e
para a vazão dada. Vou calcular a velocidade e ver se está dentro do intervalo.
Área da seção:
Velocidade:
Comentário:
está dentro do intervalo aceitável. Agora calculo as perdas por atrito totais usando Hazen–Williams para o comprimento total
:
Calculos auxiliares (vou escrever os passos numéricos):
Aplicando Hazen–Williams (trecho total):
Perdas localizadas (8% das perdas distribuídas):
Total perdas hidráulicas (distribuídas + localizadas):
Passo 4
Avaliação da hipótese inicial e necessidade de ajuste do diâmetro:
Agora verifico se com esse
o conjunto de duas bombas em série (cada uma com
) é suficiente para vencer a carga total do sistema.
A carga geométrica (diferença entre superfícies) é:
A carga total exigida pelo sistema (estática + perdas hidráulicas) será:
Comparação com bombas:
- Uma bomba fornece
(insuficiente). - Duas bombas em série fornecem aproximadamente
.
Conclusão: com
o sistema exigiria
e duas bombas só dão
— portanto
é insuficiente. É preciso aumentar
(diminuir perdas de atrito) até que
onde
vem de incluir as perdas localizadas (
).
Isolando
máximo admissível:
Ou seja, as perdas distribuídas totais (nos
) não podem exceder cerca de
se queremos que duas bombas (40 m) sejam suficientes.
Passo 5
Cálculo do diâmetro necessário para que
(resolução numérica analítica):
A fórmula Hazen–Williams rearranjada:
Defino a constante (numérica):
Logo para
:
Por segurança de projeto e arredondamento prático eu escolho como diâmetro econômico (valor calculado) aproximadamente:
Comentário:
é o diâmetro que reduz as perdas distribuídas para cerca de
–
dependendo do arredondamento; dá velocidade baixa (cerca de
), o que é econômico. Como bitola comercial padrão nem sempre existe exatamente
, vou comentar a bitola comercial recomendada no passo final.
Passo 6
Agora recomputo as perdas por atrito e localizadas para a vazão de projeto adotando
(valores numéricos com 3 casas significativas).
Cálculos auxiliares para
:
Aplicando Hazen–Williams no comprimento total
:
Perdas localizadas:
Dividindo as perdas distribuídas entre recalque e sucção (proporcional aos comprimentos):
(As perdas localizadas foram calculadas sobre o somatório; se precisar, podem ser distribuídas proporcionalmente, mas não é obrigatório.)
Resumo numérico (para
):
Passo 7
Cálculo da Altura Manométrica Total do sistema (H_req) e comparação com bombas:
A carga geométrica (diferença de nível):
Perdas totais hidráulicas (distribuídas + localizadas) com
:
Logo a altura manométrica total requerida pelo sistema é:
Comparação com as bombas:
- Uma bomba sozinha (emergência) fornece
. Logo uma bomba NÃO consegue atender o sistema (pois ). - Duas bombas em série fornecem aproximadamente
, que é ligeiramente maior que . Portanto, com duas bombas em série conseguem vencer a carga com pequena margem.
Passo 8
Cálculo das potências hidráulica e elétrica (motor) para os dois casos.
Fórmulas:
- Potência hidráulica (energia por unidade de tempo) entregue à água:
com
em
,
em m,
em W.
- Potência elétrica do motor necessária (entrando na bomba+motor), considerando rendimento global
:
Cálculo numérico (use
,
):
- Uma bomba operando sozinha (usar
conforme enunciado):
Potência elétrica necessária (conjunto bomba+motor):
- Duas bombas em série (cada bomba fornece
; a carga total é vencida pelas duas juntas). A potência hidráulica total entregue (às duas bombas somadas) é:
Por simetria, cada bomba fornece cerca de metade da potência hidráulica total (cada uma fornece
):
Potência elétrica por bomba (usando
):
Comentário prático: valores por bomba ficam em torno de
(é o que cada motor teria de fornecer). Como motores comerciais têm potências padronizadas, escolhe-se o próximo padrão disponível.
Passo 9
Escolha da bitola comercial e potência comercial do motor (recomendações práticas):
-
Diâmetro econômico calculado:
(110 mm). Em termos comerciais de PVC rígido, o diâmetro imediatamente superior e comumente disponível é (0{,}125 m) — isso dá margem adicional de perdas menores e é uma escolha segura e prática. Portanto recomendo tubulação comercial: DN 125 (PVC rígido). -
Potência comercial do motor por bomba: cálculo deu
. O próximo motor comercial padronizado que garante margem segura é normalmente (ou, se for aceitável uma margem estreita, poderia ser tentado, mas é ligeiramente abaixo do requerido calculado). Recomendo escolher motor comercial de por bomba (1750 rpm, compatível com a rotação da bomba), para ter margem de segurança e evitar operação contínua à capacidade máxima do motor.
Resposta
Diâmetro econômico calculado:
(110 mm).
Perdas por atrito (para ,
):
.
Perdas localizadas: .
Altura manométrica total requerida pelo sistema: .
Altura fornecida por uma bomba (dados nominais): (insuficiente).
Altura fornecida por duas bombas em série: (suficiente, ligeira margem).
Potência hidráulica (uma bomba, ):
.
Potência elétrica requerida por bomba ( ):
.
Potência hidráulica total (duas bombas, ):
.
Bitola comercial recomendada: DN 125 (PVC rígido).
Potência comercial recomendada do motor por bomba: (1750 rpm).
Perdas por atrito (para
Perdas localizadas:
Altura manométrica total requerida pelo sistema:
Altura fornecida por uma bomba (dados nominais):
Altura fornecida por duas bombas em série:
Potência hidráulica (uma bomba,
Potência elétrica requerida por bomba (
Potência hidráulica total (duas bombas,
Bitola comercial recomendada: DN 125 (PVC rígido).
Potência comercial recomendada do motor por bomba: