Dados: \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & -1 \\\\ 1 & -3 & 0 \\\\ 0 & 6 & 4\end{array}\right] e \mathrm{X}=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right], calcule a matriz AX

Passo 1

O enunciado dá a matriz \mathrm{A} e o vetor coluna \mathrm{X} e pede para calcular o produto \mathrm{A}\mathrm{X}. Peguei estes dados do enunciado:
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & -1 \\[4pt] 1 & -3 & 0 \\[4pt] 0 & 6 & 4\end{array}\right], \qquad \mathrm{X}=\left[\begin{array}{c}x \\[4pt] y \\[4pt] z\end{array}\right].
A pergunta é: calcular explicitamente a matriz (vetor coluna) \mathrm{A}\mathrm{X}.]

Passo 2

Explicação didática do processo: ao multiplicar uma matriz 3\times3 por um vetor 3\times1 obtém-se um vetor 3\times1. Cada entrada do resultado é o produto escalar (dot product) entre a linha correspondente de \mathrm{A} e o vetor \mathrm{X}. Em notação, se \mathrm{A}=(a_{ij}) e \mathrm{X}=(x_j), então a i-ésima entrada de \mathrm{A}\mathrm{X} é
(\mathrm{A}\mathrm{X})_i=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,x_j.
Aqui a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de \mathrm{A}, e x_j é o j-ésimo componente do vetor \mathrm{X}. O símbolo \sum significa somar os produtos correspondentes.

Passo 3

Calcular a primeira entrada: usar a primeira linha de \mathrm{A}, que é \left[4,\;2,\;-1\right]. Aplicando a fórmula do produto escalar:
(\mathrm{A}\mathrm{X})_1 = 4\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z.
Simplificando a escrita:
(\mathrm{A}\mathrm{X})_1 = 4x + 2y - z.
Interpretação: multiplica-se cada coeficiente da linha pelos correspondentes x,y,z e soma-se tudo.

Passo 4

Calcular a segunda entrada: usar a segunda linha de \mathrm{A}, que é \left[1,\;-3,\;0\right]. Então
(\mathrm{A}\mathrm{X})_2 = 1\cdot x + (-3)\cdot y + 0\cdot z.
Como 0\cdot z=0, temos
(\mathrm{A}\mathrm{X})_2 = x - 3y.

Passo 5

Calcular a terceira entrada: usar a terceira linha de \mathrm{A}, que é \left[0,\;6,\;4\right]. Assim
(\mathrm{A}\mathrm{X})_3 = 0\cdot x + 6\cdot y + 4\cdot z.
Portanto
(\mathrm{A}\mathrm{X})_3 = 6y + 4z.

Passo 6

Juntar as três entradas calculadas em um único vetor coluna. O produto \mathrm{A}\mathrm{X} é o vetor cujas componentes são as expressões obtidas nos passos anteriores:
\mathrm{A}\mathrm{X}=\left[\begin{array}{c}4x+2y-z \\[4pt] x-3y \\[4pt] 6y+4z\end{array}\right].]

Resposta

\mathrm{A}\mathrm{X}=\left[\begin{array}{c}4x+2y-z \\[4pt] x-3y \\[4pt] 6y+4z\end{array}\right]]

Exercícios relacionados