A pergunta é: calcular explicitamente a matriz (vetor coluna) \mathrm{A}\mathrm{X}.]
Passo 2
Explicação didática do processo: ao multiplicar uma matriz 3\times3 por um vetor 3\times1 obtém-se um vetor 3\times1. Cada entrada do resultado é o produto escalar (dot product) entre a linha correspondente de \mathrm{A} e o vetor \mathrm{X}. Em notação, se \mathrm{A}=(a_{ij}) e \mathrm{X}=(x_j), então a i-ésima entrada de \mathrm{A}\mathrm{X} é
Aqui a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de \mathrm{A}, e x_j é o j-ésimo componente do vetor \mathrm{X}. O símbolo \sum significa somar os produtos correspondentes.
Passo 3
Calcular a primeira entrada: usar a primeira linha de \mathrm{A}, que é \left[4,\;2,\;-1\right]. Aplicando a fórmula do produto escalar:
(\mathrm{A}\mathrm{X})_1 = 4\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z.
Simplificando a escrita:
(\mathrm{A}\mathrm{X})_1 = 4x + 2y - z.
Interpretação: multiplica-se cada coeficiente da linha pelos correspondentes x,y,z e soma-se tudo.
Passo 4
Calcular a segunda entrada: usar a segunda linha de \mathrm{A}, que é \left[1,\;-3,\;0\right]. Então
(\mathrm{A}\mathrm{X})_2 = 1\cdot x + (-3)\cdot y + 0\cdot z.
Como 0\cdot z=0, temos
(\mathrm{A}\mathrm{X})_2 = x - 3y.
Passo 5
Calcular a terceira entrada: usar a terceira linha de \mathrm{A}, que é \left[0,\;6,\;4\right]. Assim
(\mathrm{A}\mathrm{X})_3 = 0\cdot x + 6\cdot y + 4\cdot z.
Portanto
(\mathrm{A}\mathrm{X})_3 = 6y + 4z.
Passo 6
Juntar as três entradas calculadas em um único vetor coluna. O produto \mathrm{A}\mathrm{X} é o vetor cujas componentes são as expressões obtidas nos passos anteriores: