Sejam \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right] e \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\end{array}\right]
Calcule, se possível senão justifique:
C.D

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes matrizes:
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix},\qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{pmatrix},
\mathrm{C}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 4\end{pmatrix},\qquad \mathrm{D}=\begin{pmatrix}2 & -1\end{pmatrix}.
A pergunta é: calcular, se for possível, \mathrm{C}\cdot\mathrm{D}.]

Passo 2

Primeiro identifiquemos as dimensões de \mathrm{C} e \mathrm{D}.
\mathrm{C} tem 3 linhas e 1 coluna, ou seja \mathrm{C} é 3\times1.
\mathrm{D} tem 1 linha e 2 colunas, ou seja \mathrm{D} é 1\times2.
Portanto,
\mathrm{C}\in\mathbb{R}^{3\times1},\qquad \mathrm{D}\in\mathbb{R}^{1\times2}.

Passo 3

Regra de multiplicação de matrizes (lembrete didático): se X é m\times n e Y é n\times p, então o produto XY é definido e tem dimensão m\times p. O elemento (i,j) de XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde X_{ik} é o elemento da i-ésima linha e k-ésima coluna de X, e Y_{kj} é o elemento da k-ésima linha e j-ésima coluna de Y.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: como \mathrm{C} é 3\times1 e \mathrm{D} é 1\times2, o produto \mathrm{C}\mathrm{D} é definido e terá dimensão 3\times2. Aqui o índice n da regra é 1, então a soma tem apenas um termo. Para produtos coluna-por-linha (também chamado de produto externo), a fórmula simplifica para
(\mathrm{C}\mathrm{D})_{ij}=\mathrm{C}_{i1}\,\mathrm{D}_{1j},
ou seja, cada entrada é o produto do i-ésimo elemento de \mathrm{C} pelo j-ésimo elemento de \mathrm{D}.

Passo 5

Extraindo os elementos de \mathrm{C} e \mathrm{D} (peguei estes valores do enunciado):
\mathrm{C}=\begin{pmatrix}\mathrm{C}_1\\[4pt]\mathrm{C}_2\\[4pt]\mathrm{C}_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{D}=(\mathrm{D}_1\;\;\mathrm{D}_2)=(2\;\; -1).]

Passo 6

Calculemos a primeira linha da matriz \mathrm{C}\mathrm{D}. Para i=1:
(\mathrm{C}\mathrm{D})_{11}=\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1 = (-1)\cdot 2 = -2,
(\mathrm{C}\mathrm{D})_{12}=\mathrm{C}_1\mathrm{D}_2 = (-1)\cdot(-1) = 1.
Logo a primeira linha é (-2\;\;1).

Passo 7

Calculemos a segunda linha ( i=2):
(\mathrm{C}\mathrm{D})_{21}=\mathrm{C}_2\mathrm{D}_1 = 2\cdot 2 = 4,
(\mathrm{C}\mathrm{D})_{22}=\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2 = 2\cdot(-1) = -2.
Logo a segunda linha é (4\;\;-2).

Passo 8

Calculemos a terceira linha ( i=3):
(\mathrm{C}\mathrm{D})_{31}=\mathrm{C}_3\mathrm{D}_1 = 4\cdot 2 = 8,
(\mathrm{C}\mathrm{D})_{32}=\mathrm{C}_3\mathrm{D}_2 = 4\cdot(-1) = -4.
Logo a terceira linha é (8\;\;-4).

Passo 9

Montando todas as linhas, a matriz produto \mathrm{C}\mathrm{D} é
\mathrm{C}\mathrm{D}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 4 & -2 \\[4pt] 8 & -4\end{pmatrix}.]

Resposta

\mathrm{C}\mathrm{D}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 4 & -2 \\[4pt] 8 & -4\end{pmatrix}]

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