Sejam \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right] e \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\end{array}\right]
Calcule, se possível senão justifique:
D.A

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto matricial D\cdot A. As matrizes dadas são:
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix}.
Lista das informações relevantes:
  • A é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas (dimensão 2\times3).
  • D é uma matriz com 1 linha e 2 colunas (dimensão 1\times2).
  • O que se pede: calcular D\cdot A (se for possível).]

Passo 2

Regra de multiplicação de matrizes (explicação didática):
  • Se X tem dimensão m\times n e Y tem dimensão n\times p, então o produto XY está definido e tem dimensão m\times p.
  • O elemento na linha i e coluna j do produto XY é dado pelo produto escalar (soma dos produtos) entre a linha i de X e a coluna j de Y:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui m,n,p são números inteiros que indicam quantas linhas/colunas as matrizes têm, X_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de X, e Y_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de Y. Em palavras: multiplica-se elemento a elemento e soma-se o resultado.

Passo 3

Verificação de dimensões para D\cdot A:
  • D tem dimensão 1\times2.
  • A tem dimensão 2\times3.
    Como o número de colunas de D (que é 2) é igual ao número de linhas de A (que é 2), o produto D\cdot A está definido. O resultado terá dimensão 1\times3 (uma linha e três colunas).

Passo 4

Cálculo do produto entrada a entrada usando produto escalar da linha de D com cada coluna de A.
Escrevendo as matrizes:
D=\begin{bmatrix}2 & -1\end{bmatrix},\qquad A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{bmatrix}.
Primeira coluna de A é \begin{bmatrix}1\\[2pt]2\end{bmatrix}. Então
(DA)_{1,1}=2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 = 2 - 2 = 0.
Segunda coluna de A é \begin{bmatrix}2\\[2pt]1\end{bmatrix}. Então
(DA)_{1,2}=2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 = 4 - 1 = 3.
Terceira coluna de A é \begin{bmatrix}3\\[2pt]-1\end{bmatrix}. Então
(DA)_{1,3}=2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1) = 6 + 1 = 7.]

Passo 5

Reunindo as entradas calculadas, o produto D\cdot A é a matriz linha com essas três componentes:
D\cdot A=\begin{bmatrix}0 & 3 & 7\end{bmatrix}.

Resposta

\begin{bmatrix}0 & 3 & 7\end{bmatrix}

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