Dados \mathrm{u}=(1,-1), \mathrm{v}=(2,0) e \mathrm{w}=(3,-2), determine:
|u|+|-2 v|+|-w|

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathrm{u}=(1,-1), \mathrm{v}=(2,0) e \mathrm{w}=(3,-2) e pede para calcular a soma dos módulos
|\mathrm{u}| + | -2\mathrm{v} | + | -\mathrm{w} |.

Passo 2

Lembrete prático: para um vetor \mathbf{a}=(a_1,a_2) em \mathbb{R}^2, o módulo (norma euclidiana) é dado por
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}.
Aqui \mathbf{a} é o vetor qualquer e a_1,a_2 são as suas componentes. Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras: o comprimento é a hipotenusa do triângulo cujos catetos têm comprimentos |a_1| e |a_2|.

Passo 3

Calcular |\mathrm{u}| aplicando a fórmula:
|\mathrm{u}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Propriedade útil sobre multiplicação por escalar: para todo escalar \lambda e vetor \mathbf{a} vale
\|\lambda\mathbf{a}\|=|\lambda|\,\|\mathbf{a}\|.
Prova rápida: \|\lambda\mathbf{a}\|=\sqrt{(\lambda a_1)^2+(\lambda a_2)^2}=\sqrt{\lambda^2(a_1^2+a_2^2)}=|\lambda|\sqrt{a_1^2+a_2^2}=|\lambda|\,\|\mathbf{a}\|.

Passo 5

Usando a propriedade anterior para |-2\mathrm{v}|:
|-2\mathrm{v}|=|-2|\,|\mathrm{v}|=2\,|\mathrm{v}|.
Agora |\mathrm{v}|=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2. Portanto
|-2\mathrm{v}|=2\cdot 2=4.

Passo 6

Para |-\mathrm{w}| observamos que |-\mathrm{w}|=|-1|\,|\mathrm{w}|=|\mathrm{w}|. Calculando |\mathrm{w}|:
|\mathrm{w}|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Portanto
|-\mathrm{w}|=\sqrt{13}.

Passo 7

Somando os três resultados:
|\mathrm{u}|+|-2\mathrm{v}|+|-\mathrm{w}|=\sqrt{2}+4+\sqrt{13}.

Resposta

\sqrt{2}+4+\sqrt{13}

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