Dados \mathrm{u}=(1,-1), \mathrm{v}=(2,0) e \mathrm{w}=(3,-2), determine:
|\mathrm{u}|+2 \mathrm{v}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\mathrm{u}=(1,-1), \mathrm{v}=(2,0) e \mathrm{w}=(3,-2).
Pede para determinar a expressão \lvert \mathrm{u}\rvert + 2\mathrm{v}.
Informações relevantes extraídas:
  • \mathrm{u} tem componentes \mathrm{u}_1=1 e \mathrm{u}_2=-1.
  • \mathrm{v} tem componentes \mathrm{v}_1=2 e \mathrm{v}_2=0.
  • A expressão mistura \lvert \mathrm{u}\rvert (normalmente um escalar: o comprimento de \mathrm{u}) e 2\mathrm{v} (um vetor).

Passo 2

Vamos lembrar a definição de norma (comprimento) de um vetor no plano e por que ela é assim.
Se \mathrm{u}=(u_1,u_2), então a norma \lvert \mathrm{u}\rvert é dada por:
\lvert \mathrm{u}\rvert = \sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}}.
Explicação rápida: isso vem do Teorema de Pitágoras — a norma é a hipotenusa do triângulo formado pelas componentes u_1 e u_2. Aqui u_1 e u_2 são os valores das componentes do vetor \mathrm{u}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso vetor \mathrm{u}=(1,-1):
\lvert \mathrm{u}\rvert = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.

Passo 4

Agora calcule 2\mathrm{v}. Regra: multiplicar um vetor por um escalar k significa multiplicar cada componente por k. Ou seja, se \mathrm{v}=(v_1,v_2) então
k\mathrm{v}=(kv_1,kv_2).
Aqui k=2 e \mathrm{v}=(2,0), então
2\mathrm{v}=(2\cdot 2,\,2\cdot 0)=(4,0).

Passo 5

Agora precisamos somar \lvert \mathrm{u}\rvert (um escalar) com 2\mathrm{v} (um vetor). Há duas formas de interpretar isso; a mais natural, dado que \lvert \mathrm{u}\rvert é escalar e o resultado pedido é um vetor, é identificar o escalar \lvert \mathrm{u}\rvert com o vetor (\lvert \mathrm{u}\rvert,\lvert \mathrm{u}\rvert) (ou seja, multiplicar o escalar pela base (1,1)) e então somar vetorialmente. Explico: somar um escalar a um vetor diretamente não é operação padrão, mas somar o vetor constante (\lvert \mathrm{u}\rvert,\lvert \mathrm{u}\rvert) com 2\mathrm{v} é bem definida e é a interpretação usada aqui para obter um vetor como resultado.
Assim, escrevemos
\lvert \mathrm{u}\rvert + 2\mathrm{v} = (\lvert \mathrm{u}\rvert,\lvert \mathrm{u}\rvert) + (4,0).

Passo 6

Realizando a soma componente a componente:
(\lvert \mathrm{u}\rvert,\lvert \mathrm{u}\rvert) + (4,0) = (\lvert \mathrm{u}\rvert+4,\;\lvert \mathrm{u}\rvert+0).
Substituindo \lvert \mathrm{u}\rvert=\sqrt{2}:
(\sqrt{2}+4,\;\sqrt{2}).

Resposta

(4+\sqrt{2},\;\sqrt{2})

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