Resolver os sistemas lineares não homogêneos de EDO’s pelo método de variação de parâmetros:
\mathrm{X}^{\prime}=\left(
\right) \mathrm{X}+\binom{0}{\cot 2 \mathrm{t}}
\mathrm{X}^{\prime}=\left(
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
O que se pede é a solução geral
desse sistema (ou seja, a solução geral da parte homogênea mais uma solução particular).\n
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
Nada mais será assumido: vamos achar a solução geral passo a passo.]
Passo 2
Primeiro encontramos as soluções da equação homogênea
. Calculamos o polinômio característico de
:
Desenvolvendo:
Portanto os autovalores são raízes de
, isto é
Temos autovalores puramente imaginários
, logo as soluções da homogênea serão combinações reais de funções trigonométricas com frequência
.]
Passo 3
Obtemos um autovetor para
. Resolvendo
:
Da primeira equação
segue
Calculando
. Tomando
obtemos o autovetor complexo
Uma solução complexa é
. Para obter duas soluções reais independentes tomamos parte real e imaginária de
. Fazendo as multiplicações:
E
. Assim duas soluções reais independentes são as colunas
Essas duas vetores formam uma base de soluções da homogênea.]
Passo 4
Montamos a matriz fundamental
cujas colunas são
:
Calculamos o determinante (Wronskiano):
Desenvolvendo e simplificando usando
obtemos
É ótimo que seja constante e diferente de zero:
é invertível para todos os
(onde as funções estão definidas).]
Passo 5
A inversa
é
Passo 6
Agora aplicamos variação de parâmetros: precisamos calcular
onde
. Multiplicando:
Isso dá
Usando
e a identidade
simplificamos os componentes:
onde
. Essas formas são escolhidas para integrar facilmente.]
Passo 7
Integramos
para obter
. Lembrem que
Integrando componente a componente (omitimos constantes de integração porque elas entram na solução homogênea):
Passo 8
A solução particular dada pela variação de parâmetros é
Multiplicando e simplificando cuidadosamente (as muitas cancelasções ocorrem), obtemos uma expressão simples para cada componente:
(Se quiser, pode verificar substituindo
na equação original.)
Passo 9
A solução geral é soma da solução homogênea
e da particular
. Assim, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.]