Dados números inteiros positivos k, l, m, t, u e v, considere a=2^{k} 3^{l} 5^{m} e b=2^{t} 3^{u} 5^{v}. Determine as possibilidades para a e b, sabendo-se que \operatorname{mdc}(a, b)=60, a tem exatamente 18 divisores positivos e b exatamente 12 divisores positivos.

Passo 1

O enunciado dá
a=2^{k}3^{l}5^{m} com exatamente 18 divisores,
b=2^{t}3^{u}5^{v} com exatamente 12 divisores,
\gcd(a,b)=60=2^{2}3^{1}5^{1}.
Vamos usar os fatos
\tau(a)=(k+1)(l+1)(m+1),
\tau(b)=(t+1)(u+1)(v+1),
e
\gcd(a,b)=2^{\min(k,t)}3^{\min(l,u)}5^{\min(m,v)}.

Passo 2

Da condição \gcd(a,b)=2^{2}3^{1}5^{1} obtemos
\min(k,t)=2,\quad \min(l,u)=1,\quad \min(m,v)=1.
Logo k,t\ge2 e l,u\ge1, m,v\ge1, com pelo menos um entre k,t igual a 2, um entre l,u igual a 1, e um entre m,v igual a 1.

Passo 3

Para a,
\tau(a)=18 e
(k+1)(l+1)(m+1)=18.
Os únicos fatores inteiros \ge2 de 18 em três parcelas são 3\times3\times2 (e permutações). Como k\ge2 implica k+1\ge3, devemos ter k+1=3, ou seja k=2. Os outros dois fatores 3 e 2 vão para l+1 e m+1, gerando as duas possibilidades:
(l+1,m+1)=(3,2)\quad\text{ou}\quad(2,3),
ou seja
(l,m)=(2,1) ou (1,2).

Passo 4

Para b,
\tau(b)=12 e
(t+1)(u+1)(v+1)=12.
Os fatores inteiros \ge2 de 12 em três parcelas são 3\times2\times2 (e permutações). Como t\ge2 t+1\ge3, só cabe t+1=3, isto é t=2. E então u+1=v+1=2, logo u=v=1.

Passo 5

Verificamos as condições de mínimo:
\min(k,t)=\min(2,2)=2,
\min(l,u)=\min(l,1)=1 (válido em ambos os casos l=1 ou l=2),
\min(m,v)=\min(m,1)=1.
Todas as restrições são satisfeitas.

Passo 6

Calculamos os valores numéricos de a e b.
Para (k,l,m)=(2,2,1):
a=2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{1}=4\cdot9\cdot5=180.
Para (k,l,m)=(2,1,2):
a=2^{2}\cdot3^{1}\cdot5^{2}=4\cdot3\cdot25=300.
Em ambos os casos
b=2^{2}\cdot3^{1}\cdot5^{1}=4\cdot3\cdot5=60.

Resposta

As possibilidades são
(a) a=180, b=60
(b) a=300, b=60.

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