Dados obtidos de partículas de café são mostrados na tabela abaixo. Determine o modelo que melhor representa a distribuição.
Número da peneira
an (
)
m (g)
3
6680
0
3,5
5613,4
0
4
4699
0
5
3962,4
0,1
6
3327,4
0,3
8
2362,2
3,5
10
1651,0
11,7
14
1168,0
18,2
20
833,1
18,9
28
589,3
16,2
35
416,6
11,6
48
294,6
7,6
65
208,3
4,8
100
147,3
2,9
150
104,1
1,7
170
88,9
0,6
270
53,3
1
Fundo
-
0,9
| Número da peneira | an (
|
m (g) |
| 3 | 6680 | 0 |
| 3,5 | 5613,4 | 0 |
| 4 | 4699 | 0 |
| 5 | 3962,4 | 0,1 |
| 6 | 3327,4 | 0,3 |
| 8 | 2362,2 | 3,5 |
| 10 | 1651,0 | 11,7 |
| 14 | 1168,0 | 18,2 |
| 20 | 833,1 | 18,9 |
| 28 | 589,3 | 16,2 |
| 35 | 416,6 | 11,6 |
| 48 | 294,6 | 7,6 |
| 65 | 208,3 | 4,8 |
| 100 | 147,3 | 2,9 |
| 150 | 104,1 | 1,7 |
| 170 | 88,9 | 0,6 |
| 270 | 53,3 | 1 |
| Fundo | - | 0,9 |
Passo 1
O enunciado dá uma análise por peneiras das partículas de café. Ele apresenta, em tabela, para cada peneira: o número/abertura em micrômetros
e a massa retida
em gramas. A pergunta é: “Determine o modelo que melhor representa a distribuição”.
Informações relevantes extraídas da tabela (peguei os valores diretamente da tabela fornecida):
Informações relevantes extraídas da tabela (peguei os valores diretamente da tabela fornecida):
- Abeturas
em : , , , , , , , , , , , , , , (Fundo sem abertura listada). - Massas
em gramas (retidas): , , , , , , , , , , , , , , e Fundo . - A soma das massas é
g (ou seja, os já são percentagens).
Observação sobre o dado “Fundo”: a tabela não fornece uma abertura associada ao fundo (material que passou a última peneira). Para poder incluir esse 0,9% no ajuste, vou usar uma aproximação comum em análises por peneiras: atribuir ao “fundo” uma abertura igual à metade da menor abertura medida (). Aviso que isso é uma aproximação e que o efeito é pequeno porque o fundo tem massa pequena.
Passo 2
Escolha do modelo e justificativa conceitual (aula rápida e intuitiva).
- Em muitos problemas de granulometria (tamanho de partículas), as distribuições são assimétricas à direita (muito poucas partículas grandes, muitas pequenas). Um modelo clássico e frequentemente adequado é a distribuição log-normal.
- A ideia da log-normal: se a variável diâmetro
tem distribuição log-normal, então a variável tem distribuição normal. Isso é conveniente porque a normalidade em escala logarítmica transforma a assimetria em simetria, e permite estimar parâmetros com fórmulas simples. - Fórmulas usadas (explicando cada símbolo):
- Se
é normal com média e desvio padrão , escrevemos . - A mediana geométrica (também chamada D50) é
. Isso significa que da massa está abaixo de . - O desvio padrão geométrico (GSD) é
. Ele dá a razão multiplicativa típica da dispersão.
- Se
- Método prático para ajustar: calcular a média ponderada e a variância ponderada de
usando como pesos as frações de massa . Como g, .
Passo 3
Preparação dos dados (o que usei e como).
- Usei todas as linhas da tabela com massa
. Para o “Fundo” utilizei (aproximação mencionada). - Calculei
para cada classe e usei como peso. A soma dos pesos é .
Passo 4
Cálculo da média ponderada de
(passo-a-passo numérico).
- Para cada classe computei
e depois . (Ex.: para , e , então .) - Somando todos os
obtive a média ponderada - Interpretação:
é a média de , em unidades de log(natural) de micrômetros.
Passo 5
Cálculo da variância ponderada e desvio padrão de
(passo-a-passo numérico).
- Primeiro calculei, para cada classe, o desvio
, depois o quadrado e multipliquei por : . - Somando todos esses termos obtive a variância ponderada
- O desvio padrão é
Passo 6
Interpretação dos parâmetros e cálculo da mediana geométrica e GSD.
- A mediana (D50) da distribuição log-normal é
Isso significa que aproximadamente da massa tem diâmetro abaixo de . (Observação: somando os dados observados, a fração de massa com é — bem próximo de , então o valor faz sentido.) - O desvio padrão geométrico (GSD) é
Isso indica que os tamanhos típicos variam por um fator cerca de acima/abaixo da mediana.
Passo 7
Verificação rápida da qualidade do ajuste (comparação com alguns pontos observados).
- A função de distribuição acumulada teórica da log-normal é
onde é a função de distribuição normal padrão. - Exemplos numéricos (usei os
já calculados): - Para
: . Observado: a fração mais fina que é . Desvio razoável, curva teórica próxima. - Para
: . Observado: . Muito próximo. - Para
: . Observado: . Também próximo.
- Para
- Esses checks rápidos mostram que a log-normal reproduz bem o comportamento acumulado dos dados (pequenas diferenças esperáveis por causa de discretização por peneiras e da aproximação do fundo).
Passo 8
Resumo didático final (como eu faria na prova).
- Observação prática para prova: quando você tem dados de granulometria (peneiras) e a soma das massas dá
(ou você transforma para porcentagem), faça: transforme cada abertura em , calcule média e variância ponderadas por . Essas duas estatísticas bastam para definir a log-normal: média e desvio padrão da escala logarítmica. A mediana é e a dispersão típica é . Se os valores teóricos da CDF coincidirem razoavelmente com as percentagens acumuladas observadas, o ajuste é aceitável. - No caso específico, os cálculos dão
e , o que corresponde a e .
Resposta
Distribuição log-normal com
e
(parâmetros de
); mediana
; GSD
.