Dados obtidos de partículas de café são mostrados na tabela abaixo. Determine o modelo que melhor representa a distribuição.
Número da peneira an ( \mu \mathrm{m} ) m (g)
3 6680 0
3,5 5613,4 0
4 4699 0
5 3962,4 0,1
6 3327,4 0,3
8 2362,2 3,5
10 1651,0 11,7
14 1168,0 18,2
20 833,1 18,9
28 589,3 16,2
35 416,6 11,6
48 294,6 7,6
65 208,3 4,8
100 147,3 2,9
150 104,1 1,7
170 88,9 0,6
270 53,3 1
Fundo - 0,9

Passo 1

O enunciado dá uma análise por peneiras das partículas de café. Ele apresenta, em tabela, para cada peneira: o número/abertura em micrômetros (a_n) e a massa retida m em gramas. A pergunta é: “Determine o modelo que melhor representa a distribuição”.
Informações relevantes extraídas da tabela (peguei os valores diretamente da tabela fornecida):
  • Abeturas (a_n) em \mu\mathrm{m}: 3962{,}4, 3327{,}4, 2362{,}2, 1651{,}0, 1168{,}0, 833{,}1, 589{,}3, 416{,}6, 294{,}6, 208{,}3, 147{,}3, 104{,}1, 88{,}9, 53{,}3, (Fundo sem abertura listada).
  • Massas m em gramas (retidas): 0{,}1, 0{,}3, 3{,}5, 11{,}7, 18{,}2, 18{,}9, 16{,}2, 11{,}6, 7{,}6, 4{,}8, 2{,}9, 1{,}7, 0{,}6, 1{,}0, e Fundo 0{,}9.
  • A soma das massas é 100 g (ou seja, os m já são percentagens).
    Observação sobre o dado “Fundo”: a tabela não fornece uma abertura associada ao fundo (material que passou a última peneira). Para poder incluir esse 0,9% no ajuste, vou usar uma aproximação comum em análises por peneiras: atribuir ao “fundo” uma abertura igual à metade da menor abertura medida ( 53{,}3/2=26{,}65\\ \mu\mathrm{m}). Aviso que isso é uma aproximação e que o efeito é pequeno porque o fundo tem massa pequena.

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa conceitual (aula rápida e intuitiva).
  • Em muitos problemas de granulometria (tamanho de partículas), as distribuições são assimétricas à direita (muito poucas partículas grandes, muitas pequenas). Um modelo clássico e frequentemente adequado é a distribuição log-normal.
  • A ideia da log-normal: se a variável diâmetro D tem distribuição log-normal, então a variável \ln D tem distribuição normal. Isso é conveniente porque a normalidade em escala logarítmica transforma a assimetria em simetria, e permite estimar parâmetros com fórmulas simples.
  • Fórmulas usadas (explicando cada símbolo):
    • Se \ln D é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos \ln D \sim N(\mu,\sigma^2).
    • A mediana geométrica (também chamada D50) é \exp(\mu). Isso significa que 50\% da massa está abaixo de \exp(\mu).
    • O desvio padrão geométrico (GSD) é \exp(\sigma). Ele dá a razão multiplicativa típica da dispersão.
  • Método prático para ajustar: calcular a média ponderada e a variância ponderada de \ln(a_n) usando como pesos as frações de massa w_i = m_i/\sum m_i. Como \sum m_i = 100 g, w_i = m_i/100.

Passo 3

Preparação dos dados (o que usei e como).
  • Usei todas as linhas da tabela com massa m>0. Para o “Fundo” utilizei \,a_{\text{fundo}}=26{,}65\\ \mu\mathrm{m} (aproximação mencionada).
  • Calculei \ln(a_n) para cada classe e usei w_i = m_i/100 como peso. A soma dos pesos é 1.

Passo 4

Cálculo da média ponderada de \ln D (passo-a-passo numérico).
  • Para cada classe computei \ln(a_n) e depois w_i\cdot \ln(a_n). (Ex.: para a_n=3962{,}4\\ \mu\mathrm{m}, \ln(3962{,}4)\approx 8{,}2848 e w=0{,}001, então w\ln a_n \approx 0{,}0082848.)
  • Somando todos os w_i\ln(a_n) obtive a média ponderada \mu \;=\; \sum_i w_i \ln(a_{n,i}) \;\approx\; 6{,}4694.
  • Interpretação: \mu é a média de \ln D, em unidades de log(natural) de micrômetros.

Passo 5

Cálculo da variância ponderada e desvio padrão de \ln D (passo-a-passo numérico).
  • Primeiro calculei, para cada classe, o desvio \ln(a_{n,i})-\mu, depois o quadrado e multipliquei por w_i: w_i(\ln a_{n,i}-\mu)^2.
  • Somando todos esses termos obtive a variância ponderada \sigma^2 \;=\; \sum_i w_i(\ln a_{n,i}-\mu)^2 \;\approx\; 0{,}6789.
  • O desvio padrão é \sigma \;=\; \sqrt{\sigma^2} \;\approx\; 0{,}8239.

Passo 6

Interpretação dos parâmetros e cálculo da mediana geométrica e GSD.
  • A mediana (D50) da distribuição log-normal é \text{D}_{50} \;=\; \exp(\mu) \;\approx\; \exp(6{,}4694) \;\approx\; 645\\ \mu\mathrm{m}.Isso significa que aproximadamente 50\% da massa tem diâmetro abaixo de \approx 645\\ \mu\mathrm{m}. (Observação: somando os dados observados, a fração de massa com a_n\le 589{,}3\\ \mu\mathrm{m} é 46{,}3\% — bem próximo de 50\%, então o valor faz sentido.)
  • O desvio padrão geométrico (GSD) é \text{GSD} \;=\; \exp(\sigma) \;\approx\; \exp(0{,}8239) \;\approx\; 2{,}28.Isso indica que os tamanhos típicos variam por um fator cerca de 2{,}28 acima/abaixo da mediana.

Passo 7

Verificação rápida da qualidade do ajuste (comparação com alguns pontos observados).
  • A função de distribuição acumulada teórica da log-normal é P(D\le d) \;=\; \Phi\!\Big(\dfrac{\ln d - \mu}{\sigma}\Big),onde \Phi é a função de distribuição normal padrão.
  • Exemplos numéricos (usei os \ln a_n já calculados):
    • Para d=833{,}1\\ \mu\mathrm{m}: z=(\ln d-\mu)/\sigma\approx 0{,}31\Rightarrow \Phi(z)\approx 0{,}62. Observado: a fração mais fina que 833{,}1\\ \mu\mathrm{m} é 66{,}2\%. Desvio razoável, curva teórica próxima.
    • Para d=589{,}3\\ \mu\mathrm{m}: z\approx -0{,}11\Rightarrow \Phi(z)\approx 0{,}456. Observado: 46{,}3\%. Muito próximo.
    • Para d=294{,}6\\ \mu\mathrm{m}: z\approx -0{,}95\Rightarrow \Phi(z)\approx 0{,}17. Observado: 19{,}5\%. Também próximo.
  • Esses checks rápidos mostram que a log-normal reproduz bem o comportamento acumulado dos dados (pequenas diferenças esperáveis por causa de discretização por peneiras e da aproximação do fundo).

Passo 8

Resumo didático final (como eu faria na prova).
  • Observação prática para prova: quando você tem dados de granulometria (peneiras) e a soma das massas dá 100 (ou você transforma para porcentagem), faça: transforme cada abertura a_n em \ln(a_n), calcule média e variância ponderadas por m_i/100. Essas duas estatísticas bastam para definir a log-normal: média \mu e desvio padrão \sigma da escala logarítmica. A mediana é \exp(\mu) e a dispersão típica é \exp(\sigma). Se os valores teóricos da CDF coincidirem razoavelmente com as percentagens acumuladas observadas, o ajuste é aceitável.
  • No caso específico, os cálculos dão \mu\approx 6{,}4694 e \sigma\approx 0{,}8239, o que corresponde a \text{D}_{50}\approx 645\\ \mu\mathrm{m} e \text{GSD}\approx 2{,}28.

Resposta

Distribuição log-normal com \mu=\;6{,}4694 e \sigma=\;0{,}8239 (parâmetros de \ln D); mediana \text{D}_{50}\approx 645\\ \mu\mathrm{m}; GSD \approx 2{,}28.

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