Para limpar um filtro de areia, ele é fluidizado à condições mínimas utilizando água a 24^{\circ} \mathrm{C}. As partículas arredondadas de areia possuem densidade de 2550 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e um tamanho médio de 0,40 \mathrm{~mm}. A areia possui as seguintes propriedades: esfericidade de 0,86 e porosidade mínima de fluidização de 0,42 .
(a) O diâmetro do leito é 0,40 \mathrm{~m} e a altura desejada do leito para as condições mínimas de fluidização é 1,75 \mathrm{~m}. Calcule a quantidade de sólidos necessários (massa de areia).
(b) Encontre a queda de pressão nessas condições, e a velocidade mínima de fluidização.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a massa de areia necessária para formar um leito com as condições mínimas de fluidização dadas; (b) a queda de pressão no leito nessas condições e a velocidade mínima de fluidização.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente, convertendo unidades quando necessário):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do leito: } D = 0{,}40\\ \mathrm{m},\\\ &\text{altura do leito (em condições mínimas): } H_{mf} = 1{,}75\\ \mathrm{m},\\\ &\text{densidade das partículas: } \rho_p = 2550\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{tamanho médio das partículas: } d_p = 0{,}40\\ \mathrm{mm} = 0{,}0004\\ \mathrm{m},\\\ &\text{esfericidade: } \phi_s = 0{,}86,\\\ &\text{porosidade mínima de fluidização: } \varepsilon_{mf} = 0{,}42,\\\ &\text{fluido: água a } 24^\circ\mathrm{C}\\ (\text{usarei } \rho_f = 997\\ \mathrm{kg/m^3}\text{ e } \mu = 0{,}0009\\ \mathrm{Pa\cdot s}),\\\ &\text{aceleração da gravidade: } g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}âçõííéííçãáçã
Observação: para água a 24^\circ\mathrm{C} usei os valores típicos \rho_f = 997\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu \approx 0{,}0009\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Não foi fornecido no enunciado, então escolhi valores padrão — isso é comum em provas; se seu professor usar outros, pode-se recalcular facilmente.

Passo 2

Calcular a massa de sólidos: primeiro o volume do leito e depois o volume ocupado por sólidos (volume total multiplicado por 1-\varepsilon_{mf}), finalmente multiplicar pela densidade das partículas.
Área da seção transversal do leito:
A = \pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 = \pi\left(\frac{0{,}40}{2}\right)^2 = \pi(0{,}20)^2.
Calculemos numericamente:
A \approx \pi \cdot 0{,}04 = 0{,}12566\\ \mathrm{m^2}.
Volume do leito:
V = A\cdot H_{mf} \approx 0{,}12566 \cdot 1{,}75 = 0{,}21986\\ \mathrm{m^3}.
Volume de sólidos (parte ocupada por partículas):
V_s = (1-\varepsilon_{mf})\,V = (1-0{,}42)\cdot 0{,}21986 = 0{,}58\cdot 0{,}21986.
V_s \approx 0{,}12752\\ \mathrm{m^3}.
Massa de areia:
m = \rho_p\,V_s = 2550\cdot 0{,}12752 \approx 325{,}15\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Queda de pressão no leito nas condições mínimas de fluidização: a queda de pressão por área eqüivale ao peso aparente das partículas por unidade de área. A fórmula é
\Delta P = (1-\varepsilon_{mf})(\rho_p-\rho_f)\,g\,H_{mf}.
Expliquei: (1-\varepsilon_{mf}) converte o volume total em volume de sólidos; (\rho_p-\rho_f) é a densidade efetiva (peso específico aparente subtraindo o empuxo do fluido); multiplicando por g e pela altura obtemos pressão.
Substituindo numericamente:
(1-\varepsilon_{mf})(\rho_p-\rho_f) = 0{,}58\cdot(2550-997)=0{,}58\cdot1553=900{,}74\\ \mathrm{kg/m^3}.
\Delta P = 900{,}74\cdot 9{,}81 \cdot 1{,}75 \approx 15\,463\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando, \Delta P \approx 1,55\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou 15{,}5\\ \mathrm{kPa}).

Passo 4

Agora vamos calcular a velocidade mínima de fluidização \,U_{mf}. Eu explico a teoria e o método escolhido passo a passo:
  1. Conceito: em mínimo de fluidização, a força de arraste do fluido iguala o peso aparente do leito. Não podemos obter U_{mf} analiticamente de forma simples porque o arraste depende de U de forma complexa; usamos correlações empíricas. Uma correlação amplamente usada é a de Wen & Yu (1966), que fornece o número de Reynolds de incipiente fluidização Re_{mf} em função do número de Archimedes Ar.
  2. Definições:
Re_{mf} = \frac{\rho_f\,U_{mf}\,d_p}{\mu}
Ar = \frac{g\,d_p^3\,\rho_f(\rho_p-\rho_f)}{\mu^2}.
O procedimento: calculamos Ar, usamos a correlação de Wen & Yu para obter Re_{mf}, e daí U_{mf}.
  1. Correlação de Wen & Yu:
Re_{mf} = \sqrt{33{,}7^2 + 0{,}0408\,Ar}\;-\;33{,}7.
Essa correlação foi desenvolvida para partículas aproximadamente esféricas. Como aqui as partículas têm esfericidade \phi_s=0{,}86 (ou seja, não são perfeitas esferas), é razoável fazer um ajuste: muitas práticas adotam um fator corretivo à esquerda do Ar proporcional a \phi_s^3 (isso reflete que certas propriedades volumétricas/geométricas escalam com o volume da partícula). Vou aplicar essa correção: usarei um Ar^\ast = Ar\cdot\phi_s^3. Se preferir (por uma questão de prova) tratar as partículas como esferas, basta usar Ar sem correção; eu mostrarei os dois resultados para comparação e indicarei o que adotei como resposta principal.

Passo 5

Calculemos Ar (sem correção de esfericidade):
d_p^3 = (0{,}0004)^3 = 6{,}4\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^3}.
Ar = \frac{9{,}81\cdot 6{,}4\times 10^{-11}\cdot 997\cdot 1553}{(0{,}0009)^2}.
Faça a conta em etapas:
\text{numerador} \approx 9{,}81\cdot 6{,}4\times10^{-11}\cdot 1{,}548{,}341 \approx 9{,}72\times10^{-4}.
\mu^2 = (0{,}0009)^2 = 8{,}1\times10^{-7}.
Ar \approx \frac{9{,}72\times10^{-4}}{8{,}1\times10^{-7}} \approx 1{,}20\times10^{3}.
Agora aplique a correção de esfericidade:
\phi_s^3 = 0{,}86^3 \approx 0{,}6361,
Ar^\ast = Ar\cdot\phi_s^3 \approx 1200\cdot 0{,}6361 \approx 763{,}3.
Usando Wen & Yu com Ar^\ast:
Re_{mf} = \sqrt{33{,}7^2 + 0{,}0408\cdot 763{,}3}\;-\;33{,}7.
Calcule:
0{,}0408\cdot 763{,}3 \approx 31{,}09,
33{,}7^2 = 1135{,}69,
\sqrt{1135{,}69 + 31{,}09} = \sqrt{1166{,}78} \approx 34{,}16,
Re_{mf} \approx 34{,}16 - 33{,}7 = 0{,}46.
Finalmente
U_{mf} = \frac{Re_{mf}\,\mu}{\rho_f\,d_p} = \frac{0{,}46\cdot 0{,}0009}{997\cdot 0{,}0004}.
Calcule:
\text{numerador} = 0{,}46\cdot 0{,}0009 = 0{,}000414,
\text{denom} = 997\cdot 0{,}0004 = 0{,}3988,
U_{mf} \approx \frac{0{,}000414}{0{,}3988}\approx 0{,}00104\\ \mathrm{m/s}.
Comentário comparativo: se NÃO aplicássemos a correção de esfericidade e usássemos Ar=1200, obteríamos Re_{mf}\approx 0{,}73 e U_{mf}\approx 0{,}00165\\ \mathrm{m/s}. A esfericidade reduz um pouco U_{mf}. Eu adotei como resposta o valor com correção de esfericidade ( \phi_s=0{,}86), porque o enunciado forneceu \phi_s, o que indica que o professor espera que se leve isso em conta.

Resposta

(a) m \approx 325{,}15\\ \mathrm{kg}
(b) \Delta P \approx 1{,}55\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}
U_{mf} \approx 0{,}00104\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados