Partículas sólidas possuindo diâmetro de 0,10 \mathrm{~mm}, esfericidade de 0,86 e densidade de 1200 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} irão ser fluidizadas com ar a 2 atm e 25^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=1,84.10^{-5} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s} ; \rho=2,37 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right). A porosidade mínima de fluidização é 0,43 . O diâmetro do leito é de 0,60 \mathrm{~m} e contém 350 kg de sólidos. Com essas informações encontre:
(a) A altura mínima de fluidização.
(b) Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima;
(c) Encontre a velocidade mínima de fluidização

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a altura mínima de fluidização, (b) a queda de pressão no leito quando ocorre a fluidização mínima, e (c) a velocidade mínima de fluidização.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
d_p=0{,}10\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (diâmetro das partículas),
esfericidade \varphi=0{,}86,
\rho_s=1200\\ \mathrm{kg/m^3} (densidade das partículas),
ar a 2\\ \mathrm{atm} e 25^\circ\mathrm{C} com \mu=1{,}84\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \rho_g=2{,}37\\ \mathrm{kg/m^3},
porosidade mínima de fluidização \varepsilon_{mf}=0{,}43,
diâmetro do leito D=0{,}60\\ \mathrm{m} e massa de sólidos m_s=350\\ \mathrm{kg}.
Tudo que vou calcular parte desses dados. A partir deles preciso obter: a altura do leito em mf, a queda de pressão total no leito em mf e a velocidade mínima de fluidização U_{mf}.

Passo 2

Calcular o volume de sólidos e o volume total do leito (na condição de porosidade \varepsilon_{mf}), depois obter a altura do leito.
Primeiro o volume de sólidos V_s:
V_s=\frac{m_s}{\rho_s}=\frac{350}{1200}=0{,}291666\ldots\\ \mathrm{m^3}.
A porosidade \varepsilon é a fração de volume ocupado pelo gás; assim a fração ocupada por sólidos é 1-\varepsilon_{mf}. O volume total do leito V_b é
V_b=\frac{V_s}{1-\varepsilon_{mf}}=\frac{0{,}291666\ldots}{1-0{,}43}=\frac{0{,}291666\ldots}{0{,}57}=0{,}5114035\\ \mathrm{m^3}.
A área da seção do leito (cilíndrico) é
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}60)^2}{4}=\pi\cdot0{,}09=0{,}28274334\\ \mathrm{m^2}.
Logo a altura mínima de fluidização H_{mf} é
H_{mf}=\frac{V_b}{A}=\frac{0{,}5114035}{0{,}28274334}=1{,}808\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Explicar e calcular a queda de pressão no leito na condição de fluidização mínima.
A física por trás: na condição de incipiente fluidização a força ascendente do fluido (arraste) equilibra o peso efetivo das partículas (peso menos empuxo do gás). A queda de pressão por unidade de área através do leito (do fundo até o topo) deve sustentar esse peso efetivo por área. A expressão é
\Delta P_{mf}=(\rho_s-\rho_g)(1-\varepsilon_{mf})\,g\,H_{mf},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Aqui:
  • \rho_s é a densidade das partículas,
  • \rho_g é a densidade do gás (empuxo),
  • (1-\varepsilon_{mf}) é a fração volumétrica de sólidos no leito,
  • H_{mf} é a altura do leito em mf.
Substituindo os valores:
\Delta P_{mf}=(1200-2{,}37)\times0{,}57\times9{,}81\times1{,}808.
Faço as contas passo a passo:
1200-2{,}37=1197{,}63,
1197{,}63\times0{,}57=682{,}6491,
682{,}6491\times9{,}81=6696{,}7777\\ (\text{Pa/m}),
\Delta P_{mf}=6696{,}7777\times1{,}808=12106{,}99\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}21\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a queda de pressão total no leito em mf é aproximadamente 1{,}21\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (≈ 12{,}1\\ \mathrm{kPa}).

Passo 4

Derivar a equação para U_{mf} (velocidade mínima de fluidização) usando a equação de Ergun modificada para partículas não-esféricas.
A equação de Ergun (forma que relaciona \Delta P/L com a velocidade superficial U) para partículas sobretudo pode ser escrita como:
\frac{\Delta P}{L}=\frac{150(1-\varepsilon)^2\mu\,U}{\varepsilon^3 d_{eq}^2}+\frac{1{,}75(1-\varepsilon)\rho_g\,U^2}{\varepsilon^3 d_{eq}}.
Aqui:
  • \Delta P/L é a queda de pressão por unidade de altura do leito,
  • \mu é a viscosidade do gás,
  • \rho_g é a densidade do gás,
  • d_{eq} é o diâmetro equivalente usado na equação para levar em conta a esfericidade,
  • \varepsilon é a porosidade do leito,
  • U é a velocidade superficial do gás ( \mathrm{m/s}).
Para partículas não-esféricas usa-se o diâmetro equivalente d_{eq}=d_p\varphi (onde \varphi é a esfericidade). Assim
d_{eq}=d_p\varphi=1{,}0\times10^{-4}\times0{,}86=8{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Na condição de incipiente fluidização devemos ter \Delta P/L=(\rho_s-\rho_g)(1-\varepsilon)g. Substituindo no Ergun:
\frac{150(1-\varepsilon)^2\mu}{\varepsilon^3 d_{eq}^2}\,U+\frac{1{,}75(1-\varepsilon)\rho_g}{\varepsilon^3 d_{eq}}\,U^2=(\rho_s-\rho_g)(1-\varepsilon)g.
Isto é uma equação quadrática em U da forma B U^2 + A U - C = 0, onde
A=\frac{150(1-\varepsilon)^2\mu}{\varepsilon^3 d_{eq}^2},\quad B=\frac{1{,}75(1-\varepsilon)\rho_g}{\varepsilon^3 d_{eq}},\quad C=(\rho_s-\rho_g)(1-\varepsilon)g.

Passo 5

Calcular A, B e C numericamente com todos os passos intermédios.
Dados numéricos usados: \varepsilon=0{,}43, \varepsilon^3=0{,}43^3=0{,}079507, (1-\varepsilon)=0{,}57, (1-\varepsilon)^2=0{,}3249, d_{eq}=8{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}, d_{eq}^2=7{,}396\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2}.
Calcule A:
A=\frac{150\times0{,}3249\times1{,}84\times10^{-5}}{0{,}079507\times7{,}396\times10^{-9}} =\frac{8{,}97064\times10^{-4}}{5{,}8739\times10^{-10}}\approx1{,}5275\times10^{6}.
Calcule B:
B=\frac{1{,}75\times0{,}57\times2{,}37}{0{,}079507\times8{,}6\times10^{-5}} =\frac{2{,}3640}{6{,}83356\times10^{-6}}\approx3{,}4592\times10^{5}.
Calcule C (note que C é \Delta P/L na mf):
C=(\rho_s-\rho_g)(1-\varepsilon)g=(1200-2{,}37)\times0{,}57\times9{,}81\approx6696{,}78\\ \mathrm{Pa/m}.
Portanto a equação numérica é
3{,}4592\times10^{5}\,U^2+1{,}5275\times10^{6}\,U-6696{,}78=0.

Passo 6

Resolver a quadrática para U (só a raiz positiva é fisicamente relevante).
Usamos a fórmula quadrática:
U=\frac{-A+\sqrt{A^2+4BC}}{2B}.
Calculo do discriminante:
A^2\approx(1{,}5275\times10^{6})^2=2{,}3322\times10^{12},
4BC=4\times3{,}4592\times10^{5}\times6696{,}78\approx9{,}2708\times10^{9},
\sqrt{A^2+4BC}\approx\sqrt{2{,}3415\times10^{12}}\approx1{,}53049\times10^{6}.
Logo
U=\frac{-1{,}5275\times10^{6}+1{,}53049\times10^{6}}{2\times3{,}4592\times10^{5}} =\frac{2990}{691{,}832}\approx0{,}00432\\ \mathrm{m/s}.
Verificação rápida do regime (Reynolds na escala da partícula):
\mathrm{Re}_{mf}=\frac{\rho_g U_{mf} d_{eq}}{\mu} =\frac{2{,}37\times0{,}00432\times8{,}6\times10^{-5}}{1{,}84\times10^{-5}}\approx0{,}048\ll1,
portanto regime de Stokes/baixo número de Reynolds, coerente com o valor pequeno de U_{mf}.

Resposta

(a) H_{mf}=1{,}808\\ \mathrm{m}
(b) \Delta P_{mf}=1{,}21\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}
(c) U_{mf}=4{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}

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