Q4- Dados os operadores de momento angular
L+=hbar(ccc0 & raiz2 & 0 0 & 0 & raiz2 0 & 0 & 0) ; L-=hbar(ccc0 & 0 & 0 raiz2 & 0 & 0 0 & raiz2 & 0).
Sabendo que Lx=12(L++L-)e Ly=-i2(L+-L-)e que comutador de Lx com Ly é tal que
[Lx, Ly]=i hbar Lz
Determine a forma matricial do operador Lz.

Passo 1

O enunciado dá os operadores de subida e descida para um sistema com :
e define-se
sabendo que
.
Precisamos achar a matriz de na base .

Passo 2

Calcular Lx=tfrac12(L++L-). Somando as matrizes de L+ e L- e fatorando hbar/2, obtemos
Lx =hbar2 0 & raiz2 & 0 raiz2 & 0 & raiz2 0 & raiz2 & 0

Passo 3

Calcular Ly=-tfraci2(L+-L-). Subtraindo L- de L+ e fatorando hbar/(2i), vem
Ly =hbar2i 0 & raiz2 & 0 -,raiz2 & 0 & raiz2 0 & -,raiz2 & 0

Passo 4

Calcular o comutador l[Lx,Lyr]=LxLy-LyLx. Fazendo as multiplicações de matrizes uma encontra
l[Lx,Lyr] =hbar^24i -4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 = ihbar l[ hbar 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 r]

Passo 5

Pela relação l[Lx,Lyr]=ihbar,Lz, igualamos
ihbar,Lz = ihbar l[ hbar 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 r] ;Longrightarrow; Lz = hbar 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

Lz =hbar 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1

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