Dados P=\left(p_{1}, p_{2}\right) e Q=\left(q_{1}, q_{2}\right) em \mathbb{R}^{2}. Mostre que o ponto médio do segmento \overline{P Q} tem coordenadas =\left(\frac{p_{1}+q_{1}}{2}, \frac{p_{2}+q_{2}}{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá dois pontos P e Q em \mathbb{R}^2 com coordenadas:
P=\left(p_{1},p_{2}\right),
Q=\left(q_{1},q_{2}\right).
O que ele pede: mostrar que o ponto médio do segmento \overline{PQ} tem coordenadas
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado):
as coordenadas de P e de Q são exatamente p_{1},p_{2},q_{1},q_{2};
o segmento \overline{PQ} é o conjunto dos pontos que ligam P a Q.
Passo 2
O que significa “ponto médio” de \overline{PQ}?
Definição prática: um ponto M é ponto médio de \overline{PQ} se (i) M pertence ao segmento \overline{PQ} e (ii) a distância de M a P é igual à distância de M a Q. Em linguagem de combinação de pontos, qualquer ponto do segmento pode ser escrito como mistura linear
S(t)=P+t(Q-P),
com t\in[0,1]. Aqui t é o parâmetro que indica “quanto caminhamos” de P para Q: t=0 dá P, t=1 dá Q.
Passo 3
Explicar e aplicar operações coordenada a coordenada. Se P=(p_{1},p_{2}) e Q=(q_{1},q_{2}), então a diferença Q-P tem coordenadas
Q-P=(q_{1}-p_{1},\,q_{2}-p_{2}).
Multiplicar esse vetor por um escalar t é feito coordenada a coordenada:
Verificar que esse ponto é realmente equidistante de P e Q (para garantir que é o ponto médio). Calculemos a distância ao quadrado de P até S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) e de S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) até Q. A distância ao quadrado entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.
Distância ao quadrado de P a S\!\left(\tfrac{1}{2}\right):
As duas expressões são iguais, logo as distâncias de S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) a P e a Q coincidem. Assim S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) é um ponto do segmento equidistante de P e Q, ou seja, é o ponto médio.
Passo 6
Resumo final do raciocínio (para fixar): parametrizamos o segmento \overline{PQ} por S(t)=P+t(Q-P). O ponto com t=\tfrac{1}{2} é exatamente a média coordenada de P e Q e fica no meio porque está à mesma distância de P e de Q. Isso justifica a fórmula das coordenadas médias como a definição prática de ponto médio em \mathbb{R}^2.