Dados P=\left(p_{1}, p_{2}\right) e Q=\left(q_{1}, q_{2}\right) em \mathbb{R}^{2}. Mostre que o ponto médio do segmento \overline{P Q} tem coordenadas =\left(\frac{p_{1}+q_{1}}{2}, \frac{p_{2}+q_{2}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos P e Q em \mathbb{R}^2 com coordenadas:
  • P=\left(p_{1},p_{2}\right),
  • Q=\left(q_{1},q_{2}\right).
O que ele pede: mostrar que o ponto médio do segmento \overline{PQ} tem coordenadas
\left(\frac{p_{1}+q_{1}}{2},\frac{p_{2}+q_{2}}{2}\right).
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado):
  • as coordenadas de P e de Q são exatamente p_{1},p_{2},q_{1},q_{2};
  • o segmento \overline{PQ} é o conjunto dos pontos que ligam P a Q.

Passo 2

O que significa “ponto médio” de \overline{PQ}?
Definição prática: um ponto M é ponto médio de \overline{PQ} se (i) M pertence ao segmento \overline{PQ} e (ii) a distância de M a P é igual à distância de M a Q. Em linguagem de combinação de pontos, qualquer ponto do segmento pode ser escrito como mistura linear
S(t)=P+t(Q-P),
com t\in[0,1]. Aqui t é o parâmetro que indica “quanto caminhamos” de P para Q: t=0 P, t=1 Q.

Passo 3

Explicar e aplicar operações coordenada a coordenada. Se P=(p_{1},p_{2}) e Q=(q_{1},q_{2}), então a diferença Q-P tem coordenadas
Q-P=(q_{1}-p_{1},\,q_{2}-p_{2}).
Multiplicar esse vetor por um escalar t é feito coordenada a coordenada:
t(Q-P)=\big(t(q_{1}-p_{1}),\,t(q_{2}-p_{2})\big).
Somando com P também é coordenada a coordenada:
S(t)=P+t(Q-P)=\big(p_{1}+t(q_{1}-p_{1}),\;p_{2}+t(q_{2}-p_{2})\big).
Isso mostra explicitamente as coordenadas de qualquer ponto do segmento em função de t.

Passo 4

Escolher t=\tfrac{1}{2} (metade do caminho de P a Q) e calcular S\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Usando a expressão do passo anterior:
S\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\bigg(p_{1}+\tfrac{1}{2}(q_{1}-p_{1}),\;p_{2}+\tfrac{1}{2}(q_{2}-p_{2})\bigg).
Agora simplificar cada coordenada:
p_{1}+\tfrac{1}{2}(q_{1}-p_{1})=\tfrac{1}{2}p_{1}+\tfrac{1}{2}q_{1}=\tfrac{p_{1}+q_{1}}{2},
p_{2}+\tfrac{1}{2}(q_{2}-p_{2})=\tfrac{1}{2}p_{2}+\tfrac{1}{2}q_{2}=\tfrac{p_{2}+q_{2}}{2}.
Portanto
S\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{p_{1}+q_{1}}{2},\tfrac{p_{2}+q_{2}}{2}\right).

Passo 5

Verificar que esse ponto é realmente equidistante de P e Q (para garantir que é o ponto médio). Calculemos a distância ao quadrado de P até S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) e de S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) até Q. A distância ao quadrado entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.
Distância ao quadrado de P a S\!\left(\tfrac{1}{2}\right):
\bigg(\tfrac{p_{1}+q_{1}}{2}-p_{1}\bigg)^{2}+\bigg(\tfrac{p_{2}+q_{2}}{2}-p_{2}\bigg)^{2} =\bigg(\tfrac{q_{1}-p_{1}}{2}\bigg)^{2}+\bigg(\tfrac{q_{2}-p_{2}}{2}\bigg)^{2}.
Distância ao quadrado de S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) a Q:
\bigg(q_{1}-\tfrac{p_{1}+q_{1}}{2}\bigg)^{2}+\bigg(q_{2}-\tfrac{p_{2}+q_{2}}{2}\bigg)^{2} =\bigg(\tfrac{q_{1}-p_{1}}{2}\bigg)^{2}+\bigg(\tfrac{q_{2}-p_{2}}{2}\bigg)^{2}.
As duas expressões são iguais, logo as distâncias de S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) a P e a Q coincidem. Assim S\!\left(\tfrac{1}{2}\right) é um ponto do segmento equidistante de P e Q, ou seja, é o ponto médio.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (para fixar): parametrizamos o segmento \overline{PQ} por S(t)=P+t(Q-P). O ponto com t=\tfrac{1}{2} é exatamente a média coordenada de P e Q e fica no meio porque está à mesma distância de P e de Q. Isso justifica a fórmula das coordenadas médias como a definição prática de ponto médio em \mathbb{R}^2.

Resposta

\left(\dfrac{p_{1}+q_{1}}{2},\dfrac{p_{2}+q_{2}}{2}\right)

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