Dados p e q números positivos, considere a série sumn=2^infty (-1)^nn^p(n+e^n)^q.
(a) Mostre que para p+q>1 a série converge absolutamente.
(b) A série converge condicionalmente para todo p e q positivos? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty (-1)^nn^pl(n+e^nr)^q
onde p>0 e q>0. Em (a) queremos mostrar que, se p+q>1, então a série converge absolutamente; em (b) precisamos decidir se existe convergência somente condicional para algum par (p,q).

Passo 2

Para a convergência absoluta consideramos
|an|=1n^pl(n+e^nr)^q
Como n+e^n>n para todo n, então
|an|<=1n^p,n^q=1n^,p+q
Se p+q>1, a série sum 1/n^p+q converge (série p). Pelo teste da comparação, sum |an| também converge, logo a série original converge absolutamente.

Passo 3

Agora examine o caso p+q<=1. Ainda temos n+e^n>= e^n, de modo que
|an|<=1n^p,e^nq
Aplicando o teste da razão:
limntoinfty1/((n+1)^pe^(n+1)q)1/(n^pe^nq) =limntoinftyn^pe^nq(n+1)^pe^(n+1)q =limntoinftyl(nn+1r)^pe^-q =e^-q<1
Como essa razão é menor que 1, a série sum 1/(n^pe^nq) converge e, por comparação, sum|an| também converge.

Passo 4

Dos dois casos tiramos que para qualquer p>0 e q>0, mesmo se p+q<=1,
sum|an| converge (pelo domínio exponencial). Portanto a série é sempre absolutamente convergente.

Resposta

(a) Se p+q>1, comparamos com sum1/n^p+q para obter convergência absoluta.
(b) Não há convergência apenas condicional: para todo p>0 e q>0 a série converge absolutamente e, portanto, converge de forma não condicional.

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