Dados
e
números positivos, considere a série
.
(a) Mostre que para
a série converge absolutamente.
(b) A série converge condicionalmente para todo
e
positivos? Explique.
(a) Mostre que para
(b) A série converge condicionalmente para todo
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
onde
e
. Em (a) queremos mostrar que, se
, então a série converge absolutamente; em (b) precisamos decidir se existe convergência somente condicional para algum par
.
Passo 2
Para a convergência absoluta consideramos
Como
para todo
, então
Se
, a série
converge (série
). Pelo teste da comparação,
também converge, logo a série original converge absolutamente.
Passo 3
Agora examine o caso
. Ainda temos
, de modo que
Aplicando o teste da razão:
Como essa razão é menor que 1, a série
converge e, por comparação,
também converge.
Passo 4
Dos dois casos tiramos que para qualquer
e
, mesmo se
,
converge (pelo domínio exponencial). Portanto a série é sempre absolutamente convergente.
Resposta
(a) Se
, comparamos com
para obter convergência absoluta.
(b) Não há convergência apenas condicional: para todo e
a série converge absolutamente e, portanto, converge de forma não condicional.
(b) Não há convergência apenas condicional: para todo