Sejam u, v: S subset R^2 R duas funções de classe C^2 definidas no aberto S. Seja R uma região contida em S cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Mostre que
ointC(v partial upartial x-u partial vpartial x) d x+(u partial vpartial y-v partial upartial y) d x=integral duplaR[u partial^2 vpartial x partial y-v partial^2 upartial x partial y] d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para duas funções u,vin C^2(S) e Rsubset S com fronteira C orientada positivamente,
ointCl(v,ux - u,vxr),dx ;+;l(u,vy - v,uyr),dy ;=; integral duplaRl[u,vxy-v,uxyr],dx,dy
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green no plano, que converte uma integral de linha numa integral dupla.

Passo 2

Definimos as funções
P(x,y)=v,ux - u,vx, Q(x,y)=u,vy - v,uy
Pelo Teorema de Green,
ointCP,dx + Q,dy =integral duplaRl(partialx Q - partialy Pr),dx,dy

Passo 3

Calculamos partialx Q:
partialx Q =partialxl(u,vy - v,uyr) =ux,vy + u,vxy ;-;l(vx,uy + v,uyxr) =ux,vy + u,vxy - vx,uy - v,uxy
E partialy P:
partialy P =partialyl(v,ux - u,vxr) =vy,ux + v,uxy ;-;l(uy,vx + u,vxyr) =vy,ux + v,uxy - uy,vx - u,vxy

Passo 4

Subtraindo, usando que ux,vy=vy,ux e uy,vx=vx,uy, obtemos
partialx Q - partialy P = l[ux,vy + u,vxy - vx,uy - v,uxyr] -l[vy,ux + v,uxy - uy,vx - u,vxyr] =2l[u,vxy-v,uxyr]
Assim
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaR2l[u,vxy-v,uxyr],dx,dy

Passo 5

Bastando dividir ambos os lados por 2, chega-se à forma pedida pelo enunciado:
ointCl(v,ux - u,vxr),dx + l(u,vy - v,uyr),dy =integral duplaRl[u,vxy-v,uxyr],dx,dy

Resposta

A igualdade é consequência imediata da aplicação do Teorema de Green e do cancelamento das derivadas cruzadas, conforme demonstrado acima.

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