Sejam
duas funções de classe
definidas no aberto
. Seja
uma região contida em
cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para duas funções
e
com fronteira
orientada positivamente,
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green no plano, que converte uma integral de linha numa integral dupla.
Passo 2
Definimos as funções
Pelo Teorema de Green,
Passo 3
Calculamos
:
E
:
Passo 4
Subtraindo, usando que
e
, obtemos
Assim
Passo 5
Bastando dividir ambos os lados por
, chega-se à forma pedida pelo enunciado:
Resposta
A igualdade é consequência imediata da aplicação do Teorema de Green e do cancelamento das derivadas cruzadas, conforme demonstrado acima.