Calcule o determinante das seguintes matrizes:
ccc [lll 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ] & [ccc 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ] & [lll 0 & 1 & 2 1 & 2 & 0 2 & 0 & 1 ] [rrr 1 & 2 & 10 2 & 4 & 100 3 & 6 & 1000pi ] & [rrrr 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 1 ] & [cccc -2 & 1 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 1 & -2 ] [rrrrr 1 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 1 ] & [ccccc -2 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -2 ] & [cccc 1 & 2 & ldots & n n+1 & n+2 & ldots & 2 n n^2-n+1 & n^2-n+2 & ldots & n^2 ]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de nove matrizes de tipos diversos: três matrizes 3times3 genéricas, uma outra 3times3 com entradas paramétricas, duas matrizes 4times4 (uma mista e uma tridiagonal), duas matrizes tridiagonais de ordem 5, uma matriz 5times5 com padrão de pm1, e por fim uma matriz de formato 3times n. Para resolvê-las vamos usar expansão por cofatores, operações elementares, propriedades de matrizes tridiagonais e, no caso final, a observação de que a matriz não é quadrada.

Passo 2

Calculemos as três primeiras matrizes
A=1&0&11&1&00&1&1, B=1&0&-1-1&1&00&-1&1, C=0&1&21&2&02&0&1
Usando expansão por cofatores na primeira linha de cada uma:
det(A) =1cdot(1cdot1-0cdot1)-0+;1cdot(1cdot1-1cdot0) =1+1=2,
det(B) =1cdot(1cdot1-0cdot(-1))-0+(-1)cdotl((-1)cdot(-1)-1cdot0r) =1-1=0,
det(C) =0-;1cdot(1cdot1-0cdot2)+2cdot(1cdot0-2cdot2) =-1+2cdot(-4)=-1-8=-9

Passo 3

Para
D= 1&2&10 2&4&100 3&6&tfrac1000pi
expandimos pela primeira linha:
det(D) =1cdotdet4&1006&1000/pi -2cdotdet2&1003&1000/pi +10cdotdet2&43&6
Calculando cada menor:
det4&1006&1000/pi =tfrac4000pi-600, det2&1003&1000/pi =tfrac2000pi-300, det2&43&6=0
Logo
det(D) =l(tfrac4000pi-600r)-2l(tfrac2000pi-300r)=0

Passo 4

Considere a matriz 4times4
E= 0&0&1&0 -1&1&-1&1 1&0&0&-1 0&0&-1&1
Expansão pela primeira linha (o único termo não nulo é na coluna 3):
det(E) =1cdot(-1)^1+3det -1&1&1 1&0&-1 0&0&1 =+1cdotl(-1r)=-1

Passo 5

As matrizes tridiagonais
F= -2&1&0&0 1&-2&1&0 0&1&-2&1 0&0&1&-2 , H= -2&1&0&0&0 1&-2&1&0&0 0&1&-2&1&0 0&0&1&-2&1 0&0&0&1&-2
são do tipo “ Dn” onde
Dn=-2Dn-1-Dn-2, D1=-2,;D2=(-2)^2-1=3
Daí
D3=-2cdot3-(-2)=-4, D4=-2cdot(-4)-3=5, D5=-2cdot5-(-4)=-6
Logo det(F)=D4=5 e det(H)=D5=-6.

Passo 6

Para
G= 1&0&1&0&1 0&1&0&1&0 1&-1&1&-1&1 0&1&-1&1&0 1&1&1&1&1
faremos operações de linha:
  • R3>=ts R3-R1 (0,-1,0,-1,0).
  • R4>=ts R4-R2 (0,0,-1,0,0).
  • R5>=ts R5-R1-R2 dá o vetor nulo.
    Como aparece uma linha zero, det(G)=0.

Passo 7

A última matriz é 3times n com n colunas, nneq3. Não é quadrada, então o determinante não está definido. Se por acaso n=3, recupera-se a matriz
l[1,2,3;;4,5,6;;7,8,9r], cuja determinante é 0.

Resposta

Matriz 1: 2
Matriz 2: 0
Matriz 3: -9
Matriz 4: 0
Matriz 5: -1
Matriz 6: 5
Matriz 7: 0
Matriz 8: -6
Matriz 9: não definido (se n=3, vale 0).

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