Dados os planos pi1: 2 x-y+z-1=0 e pi2: 3 x+y-z+4=0, determine o plano que contém r=pi1 cap pi2 e é ortogonal ao vetor (1,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede um plano que contém a reta
r = pi1cappi2,
onde
pi1:2x - y + z - 1 = 0
pi2:3x + y - z + 4 = 0
e que seja ortogonal ao vetor (1,-1,2).
Para resolver, vamos:
  1. Encontrar a direção de r por produto vetorial dos normais de pi1 e pi2.
  2. Calcular o normal do plano desejado como um vetor perpendicular tanto à direção de r quanto ao vetor dado.
  3. Obter um ponto de r resolvendo o sistema pi1,pi2.
  4. Ajustar o termo independente para achar a equação final.

Passo 2

Os vetores normais são
n1=(2,-1,1) e n2=(3,1,-1).
A direção de r é
d = n1times n2 = i & j & k 2 & -1 & 1 3 & 1 & -1 = (0,5,5)

Passo 3

O normal n do plano procurado deve satisfazer
  1. nperp d (porque o plano contém r),
  2. nperp (1,-1,2) (porque o plano é ortogonal a esse vetor).
    Uma forma rápida é usar o produto vetorial
n = (1,-1,2)times(0,5,5) = (-15,-5,5)
Podemos dividir por -5 para simplificar e obter
n = (3,1,-1)

Passo 4

Para determinar o termo independente do plano, precisamos de um ponto em
somamos as equações para achar :
Escolhemos para simplificar; então da primeira equação
Logo um ponto em é .

Passo 5

A equação geral do plano é
3x + y - z + D = 0
Para encontrar D, plugamos P:
3l(-tfrac35r) + 0 - tfrac115 + D = 0 implies -tfrac95 - tfrac115 + D = 0 implies D = 4

Resposta

A equação do plano procurado é
3x + y - z + 4 = 0

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