Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta?
(a) 3 x+2 y-z=0 e -6 x-4 y+2 z+1=0
(b) x-2 y+z=0 e 2 x+y-3 z=0
(c) x+y=2 e x-z=1

Passo 1

O enunciado nos dá três pares de planos no espaço e pergunta em quais desses pares a interseção é uma reta. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: duas retas em R^3 correspondem à interseção de dois planos não paralelos. Para resolver, vamos usar o fato de que dois planos se cortam segundo uma reta exatamente quando seus vetores normais não são proporcionais (ou seja, os planos não são paralelos).

Passo 2

Dado um par de planos
P1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0, P2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0,
os vetores normais são
n1=(a1,b1,c1), n2=(a2,b2,c2)
Se existir lambdaneq0 tal que (a2,b2,c2)=lambda(a1,b1,c1), os planos são paralelos (ou coincidentes). Se, além disso, não coincidem, não há interseção. Caso contrário, se n1 e n2 não são proporcionais, os planos obrigatoriamente se intersectam numa reta.

Passo 3

Para o item (a) temos
P1: 3x+2y-z=0, P2: -6x-4y+2z+1=0
Os vetores normais são n1=(3,2,-1) e n2=(-6,-4,2). Observe que
(-6,-4,2) = -2,(3,2,-1),
ou seja, n2 é múltiplo de n1, logo os planos são paralelos. Além disso, se multiplicássemos a equação de P1 por -2 obteríamos -6x-4y+2z=0, que difere de -6x-4y+2z+1=0. Portanto são paralelos distintos e não têm interseção (nem reta).

Passo 4

Para o item (b) temos
P1: x-2y+z=0, P2: 2x+y-3z=0
Aqui n1=(1,-2,1) e n2=(2,1,-3). Não existe escalar lambda tal que (2,1,-3)=lambda(1,-2,1), então os normais não são proporcionais. Logo os planos não são paralelos e se cruzam segundo uma reta.

Passo 5

Para o item (c) temos
P1: x+y=2, P2: x-z=1
Os vetores normais são n1=(1,1,0) e n2=(1,0,-1). Também não existe escalar lambda que torne (1,0,-1)=lambda(1,1,0). Portanto esses planos também não são paralelos e se intersectam numa reta.

Resposta

Os pares de planos que se cortam segundo uma reta são os itens (b) e (c).

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