Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta?
(a)
e
(b)
e
(c)
e
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá três pares de planos no espaço e pergunta em quais desses pares a interseção é uma reta. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: duas retas em
correspondem à interseção de dois planos não paralelos. Para resolver, vamos usar o fato de que dois planos se cortam segundo uma reta exatamente quando seus vetores normais não são proporcionais (ou seja, os planos não são paralelos).
Passo 2
Dado um par de planos
os vetores normais são
Se existir
tal que
, os planos são paralelos (ou coincidentes). Se, além disso, não coincidem, não há interseção. Caso contrário, se
e
não são proporcionais, os planos obrigatoriamente se intersectam numa reta.
Passo 3
Para o item (a) temos
Os vetores normais são
e
. Observe que
ou seja,
é múltiplo de
, logo os planos são paralelos. Além disso, se multiplicássemos a equação de
por
obteríamos
, que difere de
. Portanto são paralelos distintos e não têm interseção (nem reta).
Passo 4
Para o item (b) temos
Aqui
e
. Não existe escalar
tal que
, então os normais não são proporcionais. Logo os planos não são paralelos e se cruzam segundo uma reta.
Passo 5
Para o item (c) temos
Os vetores normais são
e
. Também não existe escalar
que torne
. Portanto esses planos também não são paralelos e se intersectam numa reta.
Resposta
Os pares de planos que se cortam segundo uma reta são os itens (b) e (c).