Mostre que ([I]beta^beta^prime)^-1=[I]beta^prime^beta.

Passo 1

O enunciado está em um espaço vetorial V de dimensão n com duas bases beta e beta'. A matriz [I]beta^beta' é a matriz que leva as coordenadas de um vetor na base beta para suas coordenadas na base beta'. Queremos mostrar que o inverso dessa matriz é justamente a matriz de mudança no sentido oposto, ou seja, [I]beta'^beta.

Passo 2

Pela definição de mudança de base, para qualquer vetor vin V temos
[v]beta' = [I]beta^beta',[v]beta
e, invertendo o sentido da mudança de base,
[v]beta = [I]beta'^beta,[v]beta'

Passo 3

Substituindo a segunda igualação na primeira, obtemos
[v]beta' = [I]beta^beta'l([I]beta'^beta,[v]beta'r) = l([I]beta^beta',[I]beta'^betar),[v]beta'
Como isso vale para todo vetor de coordenadas [v]beta'in R^n, segue que
[I]beta^beta',[I]beta'^beta = In
Fazendo o mesmo raciocínio trocando beta e beta', mostra-se também
[I]beta'^beta,[I]beta^beta' = In

Passo 4

Uma matriz que multiplicada à esquerda e à direita por outra produz a identidade é a inversa dessa outra. Portanto concluímos que
l([I]beta^beta'r)^-1 = [I]beta'^beta

Resposta

l([I]beta^beta'r)^-1 = [I]beta'^beta

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