Mostre que
.
Passo 1
O enunciado está em um espaço vetorial
de dimensão
com duas bases
e
. A matriz
é a matriz que leva as coordenadas de um vetor na base
para suas coordenadas na base
. Queremos mostrar que o inverso dessa matriz é justamente a matriz de mudança no sentido oposto, ou seja,
.
Passo 2
Pela definição de mudança de base, para qualquer vetor
temos
e, invertendo o sentido da mudança de base,
Passo 3
Substituindo a segunda igualação na primeira, obtemos
Como isso vale para todo vetor de coordenadas
, segue que
Fazendo o mesmo raciocínio trocando
e
, mostra-se também
Passo 4
Uma matriz que multiplicada à esquerda e à direita por outra produz a identidade é a inversa dessa outra. Portanto concluímos que