Para as matrizes A dadas, encontre os valores de \lambda tais que o sistema A X=\lambda X tem solução não trivial e para estes valores de \lambda, encontre uma base para o espaço solução:
(d) A=\left[\begin{array}{rrrr}-1 & 2 & 2 & 0 \\\\ -1 & 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede os valores de \lambda tais que o sistema A X = \lambda X tenha solução não trivial (ou seja, os autovalores de A) e, para cada \lambda, uma base do espaço das soluções (o autovetor correspondente). Para isso vamos usar dois resultados clássicos:
  1. As soluções não triviais ocorrem quando
\det(A - \lambda I)=0.
  1. Para cada raiz \lambda, resolveremos o sistema homogêneo
(A - \lambda I)\,X = 0
para encontrar um conjunto de vetores linearmente independentes que formam a base do autespaço.

Passo 2

Observando
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 & 0\\\\ -1 & 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
vemos que A é uma matriz triangular por blocos, com um bloco 3\times3 no canto superior esquerdo e o escalar 1 no canto inferior direito. Logo
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 & 2\\\\ -1 & 2-\lambda & 1\\\\ -1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \;\times\;(1-\lambda).
Precisamos calcular primeiro
D(\lambda) =\det\begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 & 2\\\\ -1 & 2-\lambda & 1\\\\ -1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Ao expandir D(\lambda) por cofactores, encontra-se
D(\lambda) = -(\lambda-1)^3.
Portanto
\det(A - \lambda I) = -(\lambda-1)^3\,(1-\lambda) = (1-\lambda)^4.
Isso mostra que o único autovalor é
\lambda = 1,
com multiplicidade algébrica 4.

Passo 4

Agora determinamos o autespaço para \lambda=1, resolvendo
(A - I)X = 0.
Temos
A - I = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
As equações são equivalentes a
-2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x_1 + x_2 + x_3 = 0,
enquanto x_4 é livre. Daí
x_1 = x_2 + x_3,
e podemos tomar como variáveis livres x_2, x_3, x_4. Escrevendo
x_2 = s,\quad x_3 = t,\quad x_4 = u,
obtemos
X = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Isso mostra que a dimensão do autespaço é 3.

Resposta

\lambda = 1 é o único autovalor (multiplicidade 4), e uma base do espaço solução é
\bigl\{(1,1,0,0),\;(1,0,1,0),\;(0,0,0,1)\bigr\}.

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