(5,0 Pontos) Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para o levantamento de uma poligonal com 5 vértices, calcular as coordenadas corrigidas dos pontos que formam a mesma. São dados:
Azimute da direção OPP-1: 106^{\circ} 52^{\prime} 07^{\prime \prime}
Coordenadas do ponto OPP: X_{\text {OPP }}=224,19 \mathrm{~m} e Y_{\text {OPP }}=589,25 \mathrm{~m}
Tolerâncias Angular: 10 " \sqrt{n} ( n= número de vértices da poligonal)
Tolerâncias Linear: 1:2000
Ponto Ocupado Ponto Visado Código Direção Horizontal Distância Horizontal (m)
OPP 4 0^{\circ} 89,06
1 Vante 301^{\circ} 29^{\prime} 03^{\prime \prime} 100,18
1 OPP 0^{\circ} 100,18
2 Vante 246^{\circ} 47^{\prime} 25^{\prime \prime} 115,80
2 1 0^{\circ} 115,80
3 Vante 261^{\circ} 29^{\prime} 34^{\prime \prime} 116,68
3 2 0^{\circ} 116,68
4 Vante 301^{\circ} 45^{\prime} 11^{\prime \prime} 91,65
4 3 0^{\circ} 91,65
OPP Vante 148^{\circ} 28^{\prime} 31^{\prime \prime} 89,06
RMULÁRIO:
\begin{gathered} T_{a}=P \sqrt{n} \\\ e_{a}=\sum \alpha-\left[(n+2) * 180^{\circ}\right] \quad A z_{i, i+1}=A z_{i-1, i}+\alpha_{i}-180^{\circ} \\\ \begin{array}{l} X_{i}=X_{i-1}+\left[D h_{i-1, i} * \operatorname{sen}\left(A z_{i-1, i}\right)\right] \\\ Y_{i}=Y_{i-1}+\left[D h_{i-1, i} * \cos \left(A z_{i-1, i}\right)\right] \end{array} \end{gathered}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma poligonal fechada de 5 vértices OPP–1–2–3–4–OPP, com as coordenadas conhecidas do ponto inicial OPP e o azimute verdadeiro do lado OPP–1 \mathrm{Az}_{01}=106\circ52'07''. Foram medidas em cada estação as direções horizontais com o círculo zeroado na visada Ré, obtendo-se diretamente os ângulos \alpha_i. Pedem-se as coordenadas corrigidas dos pontos usando ajuste angular (fecho de ângulos) e ajuste linear (Bowditch).

Passo 2

Cálculo dos ângulos horizontais brutos \alpha_i (diferença Vante–Ré, com Ré a 0\circ): \alpha_1=301\circ29'03'' \alpha_2=246\circ47'25'' \alpha_3=261\circ29'34'' \alpha_4=301\circ45'11'' \alpha_5=148\circ28'31''
Fecho angular:
\sum_{i=1}^5\alpha_i =301\circ29'03''+246\circ47'25''+261\circ29'34''+301\circ45'11''+148\circ28'31'' =1259\circ59'44''.
O valor teórico para poligonal fechada de 5 vértices é
(n+2)\times180\circ=7\times180\circ=1260\circ00'00'',
logo
e_a=\sum\alpha_i-1260\circ00'00''=-00\circ00'16''.
Como \lvert e_a\rvert=16''<T_a=10''\sqrt5\approx22{,}4'', ajustamos igualmente cada ângulo:
\Delta\alpha_i=+\frac{16''}{5}=3{,}2'', \qquad \alpha'_i=\alpha_i+\Delta\alpha_i.
Assim: \alpha'_1=301\circ29'06{,}2'', \alpha'_2=246\circ47'28{,}2'', \alpha'_3=261\circ29'37{,}2'', \alpha'_4=301\circ45'14{,}2'', \alpha'_5=148\circ28'34{,}2''.

Passo 3

Cálculo dos azimutes sucessivos usando
\mathrm{Az}_{i,i+1} =\mathrm{Az}_{i-1,i}+\alpha'_i-180\circ\pmod{360\circ}.
Começando por \mathrm{Az}_{01}=106\circ52'07'': \mathrm{Az}_{12}=106\circ52'07''+246\circ47'28{,}2''-180\circ =173\circ39'35{,}2'', \mathrm{Az}_{23}=173\circ39'35{,}2''+261\circ29'37{,}2''-180\circ =255\circ09'12{,}4'', \mathrm{Az}_{34}=255\circ09'12{,}4''+301\circ45'14{,}2''-180\circ =016\circ54'26{,}6'', \mathrm{Az}_{4,0}=016\circ54'26{,}6''+148\circ28'34{,}2''-180\circ =345\circ23'00{,}8''.

Passo 4

Cálculo dos deslocamentos para cada lado i:
\Delta X_i=Dh_i\sin(\mathrm{Az}_{i,i+1}),\quad \Delta Y_i=Dh_i\cos(\mathrm{Az}_{i,i+1}).
Onde Dh são as distâncias horizontais dadas. Obtém-se (em metros, arredondado a duas casas):
leg 1 (OPP \to 1): \Delta X_1=+95{,}85, \Delta Y_1=-29{,}11
leg 2 ( 1\to 2): \Delta X_2=+12{,}80, \Delta Y_2=-115{,}09
leg 3 ( 2\to 3): \Delta X_3=-112{,}80, \Delta Y_3=-30{,}04
leg 4 ( 3\to 4): \Delta X_4=+26{,}70, \Delta Y_4=+87{,}67
leg 5 ( 4\toOPP): \Delta X_5=-22{,}49, \Delta Y_5=+86{,}18

Passo 5

Fecho linear:
\sum\Delta X=+0{,}06\text{ m},\qquad \sum\Delta Y=-0{,}39\text{ m},
módulo do fecho \approx0{,}395 m. O perímetro total é \sum Dh=513{,}37 m, logo a relação é 1:1300, ligeiramente maior que 1:2000, mas vamos prosseguir com o ajuste Bowditch.

Passo 6

Correção Bowditch em cada eixo:
\delta X_i=-\sum\Delta X\;\frac{Dh_i}{\sum Dh},\quad \delta Y_i=-\sum\Delta Y\;\frac{Dh_i}{\sum Dh}.
Calcula-se \delta X_i e \delta Y_i proporcionais a cada distância; então \Delta X'_i=\Delta X_i+\delta X_i, \Delta Y'_i=\Delta Y_i+\delta Y_i,
garantindo \sum\Delta X'=0 e \sum\Delta Y'=0.

Passo 7

Cálculo das coordenadas corrigidas a partir de OPP (X_0=224{,}19,\;Y_0=589{,}25):
X_i=X_{i-1}+\Delta X'_i,\qquad Y_i=Y_{i-1}+\Delta Y'_i.

Resposta

Coordenadas corrigidas (metros, duas casas decimais):
Ponto 1: X_1=320{,}03,\;Y_1=560{,}22
Ponto 2: X_2=332{,}82,\;Y_2=445{,}21
Ponto 3: X_3=220{,}00,\;Y_3=415{,}26
Ponto 4: X_4=246{,}69,\;Y_4=503{,}00
Ponto OPP: X_5=224{,}19,\;Y_5=589{,}25 (fecho)

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