Determine quais afirmações são verdadeiras: A diferença de dois polinômios de grau 9 pode ser um polinômio de grau 5.
11) Dados os polinômios P(x)=8 x^5-5 x^4+7 x^3-3 x+4 e Q(x)=4 x^2-5, determine:
a) (P+Q)(x)

Passo 1

Primeiro, o enunciado pede duas coisas: avaliar se a diferença de dois polinômios de grau 9 pode ter grau 5 (conceito de grau de polinômio) e, em seguida, calcular a soma dos polinômios
P(x)=8x^5-5x^4+7x^3-3x+4
Q(x)=4x^2-5

Passo 2

Para ver o grau de P(x)-R(x) quando P e R são de grau 9, lembramos que o grau da diferença é no máximo 9, mas pode cair se os coeficientes dos termos de maior grau se cancelarem. Ou seja, se em P(x) e R(x) os coeficientes de x^9,x^8,x^7,x^6 coincidirem, o termo de maior grau remanescente pode ser o de grau 5. Logo, é possível que a diferença de dois polinômios de grau 9 seja de grau 5. Por exemplo, se
P1(x)=x^9+x^5,
R1(x)=x^9,
então
P1(x)-R1(x)=x^5
que é de grau 5.

Passo 3

Para calcular (P+Q)(x), somamos termo a termo polinômios alinhando os graus iguais. Temos: em grau 5 só aparece 8x^5, em grau 4 só aparece -5x^4, em grau 3 só +7x^3, em grau 2 só +4x^2, em grau 1 só -3x, e no termo constante +4+(-5)=-1. Assim,
(P+Q)(x)=8x^5-5x^4+7x^3+4x^2-3x-1

Resposta

A afirmação é verdadeira. (P+Q)(x)=8x5-5x4+7x3+4x2-3x-1.

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