Dados os polinômios f(x), g(x) em R[x]. Encontre q(x), r(x) \in R[x] tais que
f(x)=g(x) q(x)+r(x) onde r(x) \equiv 0 ou \partial r(x)<\partial g(x).
(a) f(x)=3 x^{5}-4 x^{4}-5 x^{3}-8 x+28 e g(x)=x-2

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
f(x)=3x^{5}-4x^{4}-5x^{3}-8x+28
pelo polinômio
g(x)=x-2
e encontrar q(x) e r(x) tais que
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x),
onde r(x)\equiv0 ou \deg r(x)<\deg g(x).
Como g(x) é de grau 1, usamos divisão sintética com a raiz 2.

Passo 2

Organizamos os coeficientes de f(x) em ordem decrescente de grau, incluindo o termo x^2 com coeficiente zero:
3,\;-4,\;-5,\;0,\;-8,\;28.
Aplicando divisão sintética com o valor 2:
\begin{aligned} b_0 &= 3,\\\ b_1 &= -4 + 2\cdot b_0 = -4 + 6 = 2,\\\ b_2 &= -5 + 2\cdot b_1 = -5 + 4 = -1,\\\ b_3 &= 0 + 2\cdot b_2 = 0 - 2 = -2,\\\ b_4 &= -8 + 2\cdot b_3 = -8 - 4 = -12,\\\ b_5 &= 28 + 2\cdot b_4 = 28 - 24 = 4. \end{aligned}
Os coeficientes b_0,b_1,b_2,b_3,b_4 formam o quociente e b_5 é o resto.

Passo 3

Portanto, o quociente e o resto são
q(x)=3x^{4}+2x^{3}-x^{2}-2x-12, \quad r(x)=4.
Como \deg r=0<\deg g=1, a divisão está correta.

Resposta

q(x)=3x^{4}+2x^{3}-x^{2}-2x-12
r(x)=4

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