Seja A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 3 & -1\end{array}\right). Com relação à matriz dada assinale qual dos seguintes vetores pertence ao autoespaço de A associado ao autovalor -1 .
Escolha uma opção:
(-) a. \quad v=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)
b. \quad v=(1,0)
c. \quad v=(1,1)
d. \quad v=(0,3)
\bigcirc e. \quad v=(3,-5)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt] 3 & -1\end{pmatrix}
e pede um vetor não-nulo v tal que
Av = (-1)\,v.
Isso é conteúdo de autovalores e autovetores: para \lambda=-1 precisamos resolver (A - \lambda I)v=0.]

Passo 2

A condição de autovetor é
(A - (-1)I)\,v = 0,
ou seja
(A + I)\,v = 0.

Passo 3

Vamos calcular A + I:
A + I = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
Se v = (x,y), a equação (A+I)v=0 gera o sistema
\begin{cases} 3x + 0\cdot y = 0,\\\\ 3x + 0\cdot y = 0. \end{cases}]

Passo 4

Do sistema vemos que
3x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,
enquanto y é livre (não pode ser zero se quisermos um autovetor). Logo o autoespaço associado a \lambda=-1 é
\{(0,y)\mid y\neq0\}.

Passo 5

Basta checar as opções e ver qual tem primeira componente x=0:
a. \bigl(\tfrac12,-\tfrac12\bigr) x\neq0
b. (1,0) x\neq0
c. (1,1) x\neq0
d. (0,3) x=0
e. (3,-5) x\neq0
Só a opção (d) satisfaz x=0.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados