Seja A=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 3\end{array}\right]. Qual das seguintes matrizes diagonaliza a matriz A ?
Escolha uma opção:
Oa. P=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]
Ob. P=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 3 \\\\ -3 & 4 & 0 \\\\ 3 & 2 & -3\end{array}\right]
(1) c. P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]
○ d. P=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\\\ -3 & 2 & 0 \\\\ 3 & 3 & -1\end{array}\right]
oe. P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}
e pede uma matriz P que a diagonalize. Isto significa que as colunas de P devem ser três autovetores linearmente independentes de A. Vamos calcular os autovalores e autovetores de A e depois ver qual opção de P tem colunas proporcionais a esses vetores.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 & 0\\\\ -1 & 2-\lambda & -1\\\\ 0 & -1 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)\bigl((2-\lambda)(3-\lambda)-1\bigr) +1\cdot\bigl(-1\cdot(3-\lambda)\bigr).
Calcula-se (2-\lambda)(3-\lambda)-1 = \lambda^2 -5\lambda+5-1 = \lambda^2-5\lambda+4. Logo
\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+4) = (3-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4).
Portanto os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 3,\quad \lambda_3 = 4.

Passo 3

Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0:
  1. \lambda=1:
(A-I)=\begin{pmatrix}2&-1&0\\\ -1&1&-1\\\ 0&-1&2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad v\propto(1,2,1).
  1. \lambda=3:
(A-3I)=\begin{pmatrix}0&-1&0\\\ -1&-1&-1\\\ 0&-1&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad v\propto(1,0,-1).
  1. \lambda=4:
(A-4I)=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\\ -1&-2&-1\\\ 0&-1&-1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad v\propto(1,-1,1).

Passo 4

Agora verificamos as opções de P. Na opção Ob.
P = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3\\\\ -3 & 4 & 0\\\\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}
temos colunas
\,(3,-3,3)=3(1,-1,1),
\,(2,4,2)=2(1,2,1),
\,(3,0,-3)=3(1,0,-1),
que são exatamente vetores próprios para \lambda=4,1,3. Logo essa P diagonaliza A.

Resposta

Ob. P=\begin{pmatrix}3&2&3\\\ -3&4&0\\\ 3&2&-3\end{pmatrix}

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