Mostre que o polinômio p(x)=\frac{1}{9} x^{5}-2 x^{2}+7 x+2 possui raízes em Q.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio \r
p(x)=\tfrac{1}{9}x^{5}-2x^{2}+7x+2\r
não admite raízes racionais. O conteúdo principal será o Teorema das raízes racionais, que diz que toda raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros é da forma \pm\frac{d}{c}, onde d divide o termo constante e c divide o coeficiente líder.

Passo 2

Como p(x) tem denominador 9, multiplicamos por 9 para trabalhar com coeficientes inteiros. Definimos\r
f(x)=9\,p(x)=x^{5}-18x^{2}+63x+18.\r
As raízes racionais de p são exatamente as raízes racionais de f.

Passo 3

Pelo Teorema das raízes racionais, se r\in\mathbb{Q} é raiz de f, então \r
r=\pm\frac{d}{c},\r
onde d é divisor de 18 (termo constante) e c é divisor de 1 (coeficiente de x^5). Logo os candidatos são \r
r\in\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18\}.

Passo 4

Basta testar cada candidato em
f(x)=x^{5}-18x^{2}+63x+18.\r
Por exemplo,\r
f(1)=1-18+63+18=64\neq0,\quad f(-1)=-1-18-63+18=-64\neq0,
f(2)=32-72+126+18=104\neq0,\quad f(-2)=-32-72-126+18=-212\neq0,\r
e assim por diante para 3, -3,6,-6,9,-9,18,-18. Nenhum desses valores zera f(x).

Passo 5

Como nenhum dos candidatos racionais anula f, concluímos que f (e portanto p) não possui raízes em \mathbb{Q}.

Resposta

O polinômio p(x) não possui raízes racionais.

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