Mostre que o polinômio
possui raízes em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinômio \r
não admite raízes racionais. O conteúdo principal será o Teorema das raízes racionais, que diz que toda raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros é da forma
, onde
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder.
Passo 2
Como
tem denominador
, multiplicamos por
para trabalhar com coeficientes inteiros. Definimos\r
As raízes racionais de
são exatamente as raízes racionais de
.
Passo 3
Pelo Teorema das raízes racionais, se
é raiz de
, então \r
onde
é divisor de
(termo constante) e
é divisor de
(coeficiente de
). Logo os candidatos são \r
Passo 4
Basta testar cada candidato em
Por exemplo,\r
e assim por diante para
. Nenhum desses valores zera
.
Passo 5
Como nenhum dos candidatos racionais anula
, concluímos que
(e portanto
) não possui raízes em
.
Resposta
O polinômio
não possui raízes racionais.