Encontre a solução, mostrando todos os passos, do estado estacionário e ESTADO TRANSIENTE DA EQUAÇÃO DO CALOR,
, SATISFAZENDO AS CONDIÇÕES DE CONTORNO
(EXTREMIDADE ISOLADA) PARA TODO
, COM TEMPERATURA INICIAL
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Equação a resolver:
- Condições de contorno (para todo
): - Condição em
: - Condição em
: (extremidade isolada).
- Condição em
- Condição inicial (para
): -
- O que se pede:
- Encontrar o estado estacionário (solução independente de
). - Encontrar o estado transiente (a solução completa dependente de
que satisfaça a condição inicial).
- Encontrar o estado estacionário (solução independente de
Passo 2
Entender o estado estacionário e como obtê‑lo.
- O estado estacionário
é a solução que não depende do tempo, logo substitui‑se com na equação de calor. Isso dá a ODE espacial
- Resolver
dá a forma geral
onde
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
- Aplicar as condições de contorno:
-
implica . -
(pela condição isolada em ).
-
- Portanto
e , logo o estado estacionário é a função constante
Comentário didático curto: fisicamente, se uma extremidade é mantida a
e a outra é isolada, no equilíbrio a barra inteira atinge temperatura constante
.
Passo 3
Transformar o problema para ter condições homogêneas e isolar o transiente.
- Defina a função transiente (diferença entre
e o estado estacionário):
- Como
satisfaz a PDE estacionária, satisfaz a mesma equação de calor linear:
com condições de contorno homogêneas (porque subtraímos 20):
e condição inicial
- Portanto devemos resolver o problema de valor inicial-homogêneo para
com e .
Passo 4
Aplicar separação de variáveis para resolver
com BCs homogêneas.
- Procura soluções do tipo
. - Substituindo na PDE:
onde
é constante de separação. Obtemos o sistema
- As condições sobre
são e . - Discutimos os casos para
: -
leva a soluções exponenciais espaciais que não satisfazem as BCs não‑triviais aqui; dá apenas solução trivial . Portanto procuramos .
-
- Para
escrevemos .
Passo 5
Resolver o problema de autovalores para
.
- Solução geral de
é
- Impor
dá , logo . - Impor
. Calculando . Assim
- Para existir solução não trivial (
, ), requer-se . Isso acontece quando
- Portanto os autovalores e autovetores são:
-
-
-
.
-
Comentário: estes
formam um sistema ortogonal em
com as BCs dadas.
Passo 6
Construir a série de soluções para
usando os modos.
- Cada modo temporal associado é
(normalizado multiplicativo). - Assim a solução geral (série de Fourier em autovetores) é
onde os coeficientes
são determinados pela condição inicial
:
- Para obter
usa‑se ortogonalidade: para ,
e para
,
porque
e a integral de
sobre meio-período dá metade do comprimento do intervalo.
- Portanto a fórmula para
é
Passo 7
Calcular explicitamente os coeficientes
(integração por partes).
- Primeiro simplificar o fator:
. Assim
- Calcule a integral por partes. Tome
, . Então , . Assim
- Avaliar o primeiro termo: em
tem ; em tem (pois multiplica). Mas lembrando que (pela condição dos autovalores), esse termo desaparece. - Restou a segunda integral:
- Como
e , obtemos
- Portanto
- Substituindo
resulta
Passo 8
Escrever a solução completa
e comentar comportamento temporal.
- Reunindo steady + transiente:
com os valores que encontramos:
- Assim explicitamente:
- Comentário final: cada termo da soma decai exponencialmente em
com taxa ; à medida que todos os termos do transiente tendem a zero e , o estado estacionário.