Encontre a solução, mostrando todos os passos, do estado estacionário e ESTADO TRANSIENTE DA EQUAÇÃO DO CALOR, u_{t}=u_{x x}, SATISFAZENDO AS CONDIÇÕES DE CONTORNO u(0, t)=20 \mathrm{E} u_{x}(30, t)=0 (EXTREMIDADE ISOLADA) PARA TODO t \geq 0, COM TEMPERATURA INICIAL u(x, 0)=20+3 x, 0 \leq x \leq 30.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação a resolver: u_{t}=u_{x x},\qquad 0<x<30,\; t\ge0.
  • Condições de contorno (para todo t\ge0):
    • Condição em x=0: \;u(0,t)=20.
    • Condição em x=30: \;u_{x}(30,t)=0 (extremidade isolada).
  • Condição inicial (para 0\le x\le30):
    • \;u(x,0)=20+3x.
  • O que se pede:
    1. Encontrar o estado estacionário (solução independente de t).
    2. Encontrar o estado transiente (a solução completa dependente de t que satisfaça a condição inicial).

Passo 2

Entender o estado estacionário e como obtê‑lo.
  • O estado estacionário v(x) é a solução que não depende do tempo, logo substitui‑se u(x,t)=v(x) com v_t=0 na equação de calor. Isso dá a ODE espacial
v''(x)=0.
  • Resolver v''(x)=0 dá a forma geral
v(x)=A x+B,
onde A,B são constantes a determinar pelas condições de contorno.
  • Aplicar as condições de contorno:
    • v(0)=20 implica B=20.
    • v'(30)=A=0 (pela condição isolada em x=30).
  • Portanto A=0 e B=20, logo o estado estacionário é a função constante
v(x)=20\quad\text{para }0\le x\le30.
Comentário didático curto: fisicamente, se uma extremidade é mantida a 20^\circ e a outra é isolada, no equilíbrio a barra inteira atinge temperatura constante 20^\circ.

Passo 3

Transformar o problema para ter condições homogêneas e isolar o transiente.
  • Defina a função transiente (diferença entre u e o estado estacionário):
w(x,t)=u(x,t)-20.
  • Como v(x)=20 satisfaz a PDE estacionária, w satisfaz a mesma equação de calor linear:
w_{t}=w_{x x},
com condições de contorno homogêneas (porque subtraímos 20):
w(0,t)=u(0,t)-20=0,\qquad w_x(30,t)=u_x(30,t)=0,
e condição inicial
w(x,0)=u(x,0)-20=3x.
  • Portanto devemos resolver o problema de valor inicial-homogêneo para w com w(0,t)=0 e w_x(30,t)=0.

Passo 4

Aplicar separação de variáveis para resolver w_t=w_{xx} com BCs homogêneas.
  • Procura soluções do tipo \;w(x,t)=X(x)T(t).
  • Substituindo na PDE:
X(x)T'(t)=X''(x)T(t)\quad\Rightarrow\quad\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Obtemos o sistema
T'(t)=-\lambda T(t),\qquad X''(x)=-\lambda X(x).
  • As condições sobre X são X(0)=0 e X'(30)=0.
  • Discutimos os casos para \lambda:
    • \lambda<0 leva a soluções exponenciais espaciais que não satisfazem as BCs não‑triviais aqui; \lambda=0 dá apenas solução trivial X\equiv0. Portanto procuramos \lambda>0.
  • Para \lambda=\mu^{2}>0 escrevemos X''+\mu^{2}X=0.

Passo 5

Resolver o problema de autovalores para X.
  • Solução geral de X''+\mu^{2}X=0 é
X(x)=C\sin(\mu x)+D\cos(\mu x).
  • Impor X(0)=0 D=0, logo X(x)=C\sin(\mu x).
  • Impor X'(30)=0. Calculando X'(x)=C\mu\cos(\mu x). Assim
X'(30)=C\mu\cos(\mu\cdot 30)=0.
  • Para existir solução não trivial ( C\neq0, \mu>0), requer-se \cos(\mu\cdot30)=0. Isso acontece quando
\mu\cdot30=\frac{(2n-1)\pi}{2},\qquad n=1,2,3,\dots
  • Portanto os autovalores e autovetores são:
    • \displaystyle \mu_{n}=\frac{(2n-1)\pi}{60},
    • \displaystyle \lambda_{n}=\mu_{n}^{2}=\frac{(2n-1)^{2}\pi^{2}}{3600},
    • \displaystyle X_{n}(x)=\sin(\mu_{n}x),\quad n=1,2,\dots.
Comentário: estes X_n formam um sistema ortogonal em [0,30] com as BCs dadas.

Passo 6

Construir a série de soluções para w usando os modos.
  • Cada modo temporal associado é T_n(t)=e^{-\lambda_n t} (normalizado multiplicativo).
  • Assim a solução geral (série de Fourier em autovetores) é
w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}e^{-\lambda_{n}t}\sin(\mu_{n}x),
onde os coeficientes a_n são determinados pela condição inicial w(x,0)=3x:
3x=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\sin(\mu_{n}x),\qquad 0<x<30.
  • Para obter a_n usa‑se ortogonalidade: para m\neq n,
\int_{0}^{30}\sin(\mu_n x)\sin(\mu_m x)\,dx=0,
e para m=n,
\int_{0}^{30}\sin^{2}(\mu_n x)\,dx=\frac{30}{2}=15,
porque \mu_n\cdot30=(2n-1)\pi/2 e a integral de \sin^2 sobre meio-período dá metade do comprimento do intervalo.
  • Portanto a fórmula para a_n é
a_n=\frac{1}{\displaystyle\int_{0}^{30}\sin^{2}(\mu_n x)\,dx}\int_{0}^{30}3x\sin(\mu_n x)\,dx =\frac{1}{15}\int_{0}^{30}3x\sin(\mu_n x)\,dx.

Passo 7

Calcular explicitamente os coeficientes a_n (integração por partes).
  • Primeiro simplificar o fator: \dfrac{1}{15}\cdot 3=\dfrac{1}{5}. Assim
a_n=\frac{1}{5}\int_{0}^{30} x\sin(\mu_n x)\,dx.
  • Calcule a integral por partes. Tome u=x, dv=\sin(\mu_n x)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(\mu_n x)}{\mu_n}. Assim
\int_{0}^{30} x\sin(\mu_n x)\,dx = \Big[-\frac{x\cos(\mu_n x)}{\mu_n}\Big]_{0}^{30} + \int_{0}^{30}\frac{\cos(\mu_n x)}{\mu_n}\,dx.
  • Avaliar o primeiro termo: em x=30 tem -\dfrac{30\cos(\mu_n\cdot30)}{\mu_n}; em x=0 tem 0 (pois x=0 multiplica). Mas lembrando que \cos(\mu_n\cdot30)=0 (pela condição dos autovalores), esse termo desaparece.
  • Restou a segunda integral:
\int_{0}^{30}\frac{\cos(\mu_n x)}{\mu_n}\,dx=\frac{1}{\mu_n}\Big[\frac{\sin(\mu_n x)}{\mu_n}\Big]_{0}^{30} =\frac{1}{\mu_n^{2}}\big(\sin(\mu_n\cdot30)-\sin 0\big).
  • Como \sin(\mu_n\cdot30)=\sin\!\big(\tfrac{(2n-1)\pi}{2}\big)=(-1)^{\,n-1} e \sin0=0, obtemos
\int_{0}^{30} x\sin(\mu_n x)\,dx=\frac{(-1)^{\,n-1}}{\mu_n^{2}}.
  • Portanto
a_n=\frac{1}{5}\cdot\frac{(-1)^{\,n-1}}{\mu_n^{2}} =\frac{(-1)^{\,n-1}}{5\mu_n^{2}}.
  • Substituindo \mu_n^{2}=\dfrac{(2n-1)^{2}\pi^{2}}{3600} resulta
a_n=\frac{(-1)^{\,n-1}}{5}\cdot\frac{3600}{(2n-1)^{2}\pi^{2}} =\frac{720(-1)^{\,n-1}}{(2n-1)^{2}\pi^{2}}.

Passo 8

Escrever a solução completa u(x,t) e comentar comportamento temporal.
  • Reunindo steady + transiente:
u(x,t)=20 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-\lambda_n t}\sin(\mu_n x),
com os valores que encontramos:
\mu_{n}=\frac{(2n-1)\pi}{60},\qquad \lambda_{n}=\mu_{n}^{2}=\frac{(2n-1)^{2}\pi^{2}}{3600}, \qquad a_n=\frac{720(-1)^{\,n-1}}{(2n-1)^{2}\pi^{2}}.
  • Assim explicitamente:
\boxed{\,u(x,t)=20+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{720(-1)^{\,n-1}}{(2n-1)^{2}\pi^{2}} \;e^{-\frac{(2n-1)^{2}\pi^{2}}{3600}\,t}\; \sin\!\Big(\frac{(2n-1)\pi}{60}\,x\Big)\,.}
  • Comentário final: cada termo da soma decai exponencialmente em t com taxa \lambda_n; à medida que t\to\infty todos os termos do transiente tendem a zero e u(x,t)\to20, o estado estacionário.

Resposta

u_{\text{estacionário}}(x)=20á
u(x,t)=20+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{720(-1)^{\,n-1}}{(2n-1)^{2}\pi^{2}} \;e^{-\frac{(2n-1)^{2}\pi^{2}}{3600}\,t}\; \sin\!\Big(\frac{(2n-1)\pi}{60}\,x\Big).

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