Exercício 12. Use as propriedades do seno e do cosseno para escrever \operatorname{sen}(4 x) na forma
\operatorname{sen}(4 x)=a \operatorname{sen}(x) \cos ^{3}(x)+b \cos (x) \operatorname{sen}^{3}(x),
determinando a e b.

Passo 1

O enunciado dá a função \operatorname{sen}(4x) e pede que a escrevamos na forma
\operatorname{sen}(4x)=a\,\operatorname{sen}(x)\cos^{3}(x)+b\,\cos(x)\operatorname{sen}^{3}(x),
determinando os números a e b. As informações relevantes são:
  • Queremos representar \operatorname{sen}(4x) como combinação linear de \operatorname{sen}(x)\cos^{3}(x) e \cos(x)\operatorname{sen}^{3}(x).
  • a e b são constantes reais a determinar.

Passo 2

Vamos lembrar e derivar duas fórmulas básicas que vamos usar: a fórmula da soma de ângulos para o seno e as fórmulas do ângulo duplo.
A fórmula da soma de ângulos para o seno é
\operatorname{sen}(u+v)=\operatorname{sen}(u)\cos(v)+\cos(u)\operatorname{sen}(v).
Usando u=v=x obtemos a fórmula do ângulo duplo para o seno:
\operatorname{sen}(2x)=\operatorname{sen}(x)\cos(x)+\cos(x)\operatorname{sen}(x)=2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x).
A fórmula da soma de ângulos para o cosseno é
\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\operatorname{sen}(u)\operatorname{sen}(v).
Usando u=v=x obtemos a fórmula do ângulo duplo para o cosseno:
\cos(2x)=\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x).

Passo 3

Escrevemos \operatorname{sen}(4x) como seno da soma 2x+2x e aplicamos a fórmula de soma:
\operatorname{sen}(4x)=\operatorname{sen}(2x+2x)=\operatorname{sen}(2x)\cos(2x)+\cos(2x)\operatorname{sen}(2x)=2\,\operatorname{sen}(2x)\cos(2x).
Portanto
\operatorname{sen}(4x)=2\,\operatorname{sen}(2x)\cos(2x).

Passo 4

Agora substituímos as fórmulas de \operatorname{sen}(2x) e \cos(2x) obtidas no Passo 2:
\operatorname{sen}(2x)=2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x), \qquad \cos(2x)=\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x).
Logo
\operatorname{sen}(4x)=2\bigl(2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)\bigr)\bigl(\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr).
Simplificando o fator 2:
\operatorname{sen}(4x)=4\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)\bigl(\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr).

Passo 5

Distribuímos \operatorname{sen}(x)\cos(x) no parêntese para obter termos na forma desejada:
\operatorname{sen}(4x)=4\Bigl(\operatorname{sen}(x)\cos(x)\cdot\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}(x)\cos(x)\cdot\operatorname{sen}^{2}(x)\Bigr).
Reescrevendo os produtos de potências:
\operatorname{sen}(4x)=4\,\operatorname{sen}(x)\cos^{3}(x)-4\,\cos(x)\operatorname{sen}^{3}(x).
Comparando com a forma pedida
\operatorname{sen}(4x)=a\,\operatorname{sen}(x)\cos^{3}(x)+b\,\cos(x)\operatorname{sen}^{3}(x),
vemos imediatamente os coeficientes a e b.

Resposta

a=4
b=-4

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