Exercício 12. Use as propriedades do seno e do cosseno para escrever
na forma
determinando
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a escrevamos na forma
determinando os números
e
. As informações relevantes são:
- Queremos representar
como combinação linear de e . -
e são constantes reais a determinar.
Passo 2
Vamos lembrar e derivar duas fórmulas básicas que vamos usar: a fórmula da soma de ângulos para o seno e as fórmulas do ângulo duplo.
A fórmula da soma de ângulos para o seno é
Usando
obtemos a fórmula do ângulo duplo para o seno:
A fórmula da soma de ângulos para o cosseno é
Usando
obtemos a fórmula do ângulo duplo para o cosseno:
Passo 3
Escrevemos
como seno da soma
e aplicamos a fórmula de soma:
Portanto
Passo 4
Agora substituímos as fórmulas de
e
obtidas no Passo 2:
Logo
Simplificando o fator
:
Passo 5
Distribuímos
no parêntese para obter termos na forma desejada:
Reescrevendo os produtos de potências:
Comparando com a forma pedida
vemos imediatamente os coeficientes
e
.