Use produto interno para mostrar que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício que quer a gente usar o produto interno para provar que as diagonais de um quadrado são perpendiculares. O conteúdo envolve vetores e suas propriedades, especialmente como o produto interno pode nos ajudar a determinar se dois vetores são perpendiculares. Para resolver isso, vamos precisar definir os vetores das diagonais e calcular o produto interno entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um quadrado no plano cartesiano para facilitar. Vamos colocar um vértice na origem (0,0) e os outros nos pontos (a,0), (a,a) e (0,a), onde “a” é o comprimento dos lados do quadrado.

Passo 3

As diagonais do quadrado vão de (0,0) a (a,a) e de (a,0) a (0,a). Vamos definir esses vetores:
  • Vetor da primeira diagonal: $ \vec{d}_1 = (a, a) $
  • Vetor da segunda diagonal: $ \vec{d}_2 = (-a, a) $

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto interno desses dois vetores. A fórmula do produto interno entre dois vetores $ \vec{u} = (u_1, u_2) $ e $ \vec{v} = (v_1, v_2) $ é:
u = (u1, u2)

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nossos vetores $ \vec{d}_1 $ e $ \vec{d}_2 $:
d1

Passo 6

O produto interno deu zero. Isso significa que os vetores $ \vec{d}_1 $ e $ \vec{d}_2 $ são perpendiculares entre si, já que o produto interno de vetores perpendiculares é sempre zero.

Resposta

As diagonais do quadrado são perpendiculares.

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