Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos: \left\{\begin{array}{r}3 x-2 y-z-1=0 \\\ x+2 y-z-7=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede a equação da reta que é a interseção entre eles. As informações são:
Plano 1: 3x-2y-z-1=0, isto é, 3x-2y-z=1.
Plano 2: x+2y-z-7=0, isto é, x+2y-z=7.
O que se pede: determinar a reta que contém todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações dos planos (ou seja, a reta interseção).
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): dois planos não paralelos no espaço se cruzam ao longo de uma reta. Cada plano tem um vetor normal (perpendicular ao plano); se os vetores normais dos dois planos são n_1 e n_2, então a direção da reta de interseção é perpendicular a ambos, isto é, é o produto vetorial n_1\times n_2.
Identificando os normais das equações dadas:
Para 3x-2y-z=1 o vetor normal é n_1=(3,-2,-1).
Para x+2y-z=7 o vetor normal é n_2=(1,2,-1).
Agora calculamos o produto vetorial v=n_1\times n_2 para obter a direção da reta:
-z = 7+3-4y = 10-4y \quad\Rightarrow\quad z = 4y-10.
Escolhendo o parâmetro y=t (maneira padrão e prática para a prova), obtemos
x=2t-3,\qquad y=t,\qquad z=4t-10.
Para obter um ponto particular, tomar t=0 dá x=-3,\;y=0,\;z=-10. Logo um ponto da reta é P_0=(-3,0,-10).
Conferência rápida (sempre bom checar em prova): substituir P_0 nas equações dos planos:
Primeiro plano: 3(-3)-2(0)-(-10)-1 = -9+10-1=0 OK.
Segundo plano: (-3)+2(0)-(-10)-7 = -3+10-7=0 OK.
Passo 4
Forma geral da reta (explicação didática): uma reta no espaço pode ser dada pela forma paramétrica
(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t\,(v_x,v_y,v_z),
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto conhecido da reta e (v_x,v_y,v_z) é um vetor diretor. Nós encontramos o ponto (-3,0,-10) e o vetor diretor (2,1,4). A forma simétrica também pode ser obtida a partir da forma paramétrica, isolando t.