Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:
\left\{\begin{array}{r}3 x-2 y-z-1=0 \\\ x+2 y-z-7=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a equação da reta que é a interseção entre eles. As informações são:
  • Plano 1: 3x-2y-z-1=0, isto é, 3x-2y-z=1.
  • Plano 2: x+2y-z-7=0, isto é, x+2y-z=7.
O que se pede: determinar a reta que contém todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações dos planos (ou seja, a reta interseção).

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): dois planos não paralelos no espaço se cruzam ao longo de uma reta. Cada plano tem um vetor normal (perpendicular ao plano); se os vetores normais dos dois planos são n_1 e n_2, então a direção da reta de interseção é perpendicular a ambos, isto é, é o produto vetorial n_1\times n_2.
Identificando os normais das equações dadas:
  • Para 3x-2y-z=1 o vetor normal é n_1=(3,-2,-1).
  • Para x+2y-z=7 o vetor normal é n_2=(1,2,-1).
Agora calculamos o produto vetorial v=n_1\times n_2 para obter a direção da reta:
v = n_1\times n_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -2 & -1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
v_x = (-2)(-1)-(-1)(2)=2-(-2)=4,
v_y = -\bigl(3(-1)-(-1)(1)\bigr) = -(-3+1)=2,
v_z = 3\cdot2 - (-2)\cdot1 =6-(-2)=8.
Portanto v=(4,2,8). Podemos simplificar dividindo por 2 e usar v=(2,1,4) como vetor diretor da reta (qualquer múltiplo não nulo serve como direção).

Passo 3

Agora precisamos de um ponto qualquer que pertença simultaneamente aos dois planos. Resolveremos o sistema para obter uma parametrização simples.
Subtraindo a segunda equação da primeira (para eliminar z):
(3x-2y-z) - (x+2y-z) = 1-7
2x -4y = -6 \quad\Rightarrow\quad x-2y=-3 \quad\Rightarrow\quad x=2y-3.
Substituindo x=2y-3 na segunda equação x+2y-z=7:
(2y-3)+2y - z =7 \quad\Rightarrow\quad 4y-3-z=7.
Isolando z:
-z = 7+3-4y = 10-4y \quad\Rightarrow\quad z = 4y-10.
Escolhendo o parâmetro y=t (maneira padrão e prática para a prova), obtemos
x=2t-3,\qquad y=t,\qquad z=4t-10.
Para obter um ponto particular, tomar t=0 x=-3,\;y=0,\;z=-10. Logo um ponto da reta é P_0=(-3,0,-10).
Conferência rápida (sempre bom checar em prova): substituir P_0 nas equações dos planos:
  • Primeiro plano: 3(-3)-2(0)-(-10)-1 = -9+10-1=0 OK.
  • Segundo plano: (-3)+2(0)-(-10)-7 = -3+10-7=0 OK.

Passo 4

Forma geral da reta (explicação didática): uma reta no espaço pode ser dada pela forma paramétrica
(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t\,(v_x,v_y,v_z),
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto conhecido da reta e (v_x,v_y,v_z) é um vetor diretor. Nós encontramos o ponto (-3,0,-10) e o vetor diretor (2,1,4). A forma simétrica também pode ser obtida a partir da forma paramétrica, isolando t.

Resposta

\text{Forma paramétrica: }\begin{cases} x=-3+2t,\\[4pt] y=0+t,\\[4pt] z=-10+4t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}é
\text{Forma simétrica: }\frac{x+3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+10}{4}.é]

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