Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos: \left\{\begin{array}{r}3 x-y+z-3=0 \\\ x+3 y+2 z+4=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede a equação da reta interseção entre eles. Os planos são:
3x-y+z-3=0
x+3y+2z+4=0
Informações dadas que vamos usar:
As normais dos planos (os vetores perpendiculares a cada plano) podem ser lidas diretamente dos coeficientes de x,y,z.
A interseção de dois planos (quando não são paralelos nem coincidentes) é uma reta. Precisamos achar:
um vetor diretor dessa reta;
um ponto pertencente à reta;
então escrever a equação da reta (forma paramétrica e/ou simétrica).
Passo 2
A primeira coisa é extrair as normais dos planos (você já viu isso antes: para um plano ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c)).
Para os nossos planos obtemos:
\mathbf{n}_1=(3,-1,1)
\mathbf{n}_2=(1,3,2)
Esses vetores são importantes pois a reta de interseção é perpendicular a ambos os vetores normais.
Passo 3
Para encontrar o vetor diretor da reta de interseção usamos o produto vetorial (cross product) das normais:
Lembrete rápido: o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Em coordenadas,
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -5 (qualquer múltiplo não nulo conserva a direção). Um vetor diretor mais simples é
\mathbf{v}=(1,1,-2).
Este é o vetor diretor da reta de interseção (ele é perpendicular às duas normais, logo paralelo à reta).
Passo 4
Agora precisamos de um ponto qualquer que satisfaça as duas equações dos planos (um ponto da reta). Uma estratégia prática é fixar um valor conveniente para uma das incógnitas e resolver o sistema 2×2 restante.
Escolho \;z=0\; (escolha simples para facilitar contas). Substituindo z=0 nas duas equações obtemos o sistema:
3x-y-3=0
x+3y+4=0
Resolvo por substituição ou eliminação. Da primeira equação:
Separando em equações paramétricas (uma forma muito usada em provas):
x=\tfrac{1}{2}+t,
y=-\tfrac{3}{2}+t,
z=-2t.
Passo 6
Podemos converter para a forma simétrica eliminando t. Da primeira e segunda equações temos t=x-\tfrac{1}{2} e t=y+\tfrac{3}{2}. Da terceira t=-\tfrac{z}{2}. Igualando:
x-\tfrac{1}{2}=y+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{z}{2}.
Essa é a forma simétrica da reta (atenção: a forma simétrica exige que o denominador do parâmetro não seja zero; aqui está tudo bem porque o componente z tem coeficiente não nulo no vetor diretor).
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): substituo as paramétricas nas equações dos planos para confirmar que a reta realmente está nas duas:
Substituindo x=\tfrac{1}{2}+t,\; y=-\tfrac{3}{2}+t,\; z=-2t no primeiro plano: