Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:
\left\{\begin{array}{r}3 x-y+z-3=0 \\\ x+3 y+2 z+4=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a equação da reta interseção entre eles. Os planos são:
3x-y+z-3=0
x+3y+2z+4=0
Informações dadas que vamos usar:
  • As normais dos planos (os vetores perpendiculares a cada plano) podem ser lidas diretamente dos coeficientes de x,y,z.
  • A interseção de dois planos (quando não são paralelos nem coincidentes) é uma reta. Precisamos achar:
    • um vetor diretor dessa reta;
    • um ponto pertencente à reta;
    • então escrever a equação da reta (forma paramétrica e/ou simétrica).

Passo 2

A primeira coisa é extrair as normais dos planos (você já viu isso antes: para um plano ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c)).
Para os nossos planos obtemos:
\mathbf{n}_1=(3,-1,1)
\mathbf{n}_2=(1,3,2)
Esses vetores são importantes pois a reta de interseção é perpendicular a ambos os vetores normais.

Passo 3

Para encontrar o vetor diretor da reta de interseção usamos o produto vetorial (cross product) das normais:
  • Lembrete rápido: o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Em coordenadas,
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
Aplicando às normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2:
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\mathbf{v}=\big((-1)\cdot2-1\cdot3,\; -(3\cdot2-1\cdot1),\; 3\cdot3-(-1)\cdot1\big).
\mathbf{v}=(-2-3,\; -(6-1),\; 9+1)=(-5,-5,10).
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -5 (qualquer múltiplo não nulo conserva a direção). Um vetor diretor mais simples é
\mathbf{v}=(1,1,-2).
Este é o vetor diretor da reta de interseção (ele é perpendicular às duas normais, logo paralelo à reta).

Passo 4

Agora precisamos de um ponto qualquer que satisfaça as duas equações dos planos (um ponto da reta). Uma estratégia prática é fixar um valor conveniente para uma das incógnitas e resolver o sistema 2×2 restante.
Escolho \;z=0\; (escolha simples para facilitar contas). Substituindo z=0 nas duas equações obtemos o sistema:
3x-y-3=0
x+3y+4=0
Resolvo por substituição ou eliminação. Da primeira equação:
y=3x-3.
Substituo na segunda:
x+3(3x-3)+4=0.
x+9x-9+4=0 \quad\Rightarrow\quad 10x-5=0.
10x=5 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Então
y=3\cdot\tfrac{1}{2}-3=\tfrac{3}{2}-3=-\tfrac{3}{2}.
Com z=0 já escolhido, obtemos o ponto
P\!\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\right),
que pertence simultaneamente a ambos os planos (portanto está na reta de interseção).

Passo 5

Agora escrevemos a equação da reta usando o ponto P e o vetor diretor \mathbf{v}.
Forma vetorial (paramétrica vetorial):
\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\right)+t(1,1,-2),\qquad t\in\mathbb{R}.
Separando em equações paramétricas (uma forma muito usada em provas):
x=\tfrac{1}{2}+t,
y=-\tfrac{3}{2}+t,
z=-2t.

Passo 6

Podemos converter para a forma simétrica eliminando t. Da primeira e segunda equações temos t=x-\tfrac{1}{2} e t=y+\tfrac{3}{2}. Da terceira t=-\tfrac{z}{2}. Igualando:
x-\tfrac{1}{2}=y+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{z}{2}.
Essa é a forma simétrica da reta (atenção: a forma simétrica exige que o denominador do parâmetro não seja zero; aqui está tudo bem porque o componente z tem coeficiente não nulo no vetor diretor).

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): substituo as paramétricas nas equações dos planos para confirmar que a reta realmente está nas duas:
Substituindo x=\tfrac{1}{2}+t,\; y=-\tfrac{3}{2}+t,\; z=-2t no primeiro plano:
3\left(\tfrac{1}{2}+t\right)-\left(-\tfrac{3}{2}+t\right)+(-2t)-3 = \tfrac{3}{2}+3t+\tfrac{3}{2}-t-2t-3 =0.
As constantes somam \tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2}-3=0 e os t-termos somam 3t-t-2t=0. Logo é identicamente zero.
No segundo plano:
\left(\tfrac{1}{2}+t\right)+3\left(-\tfrac{3}{2}+t\right)+2(-2t)+4 =\tfrac{1}{2}+t-\tfrac{9}{2}+3t-4t+4=0.
As constantes: \tfrac{1}{2}-\tfrac{9}{2}+4=0. Os t-termos: t+3t-4t=0. Também fica zero. Isso confirma que a reta está nos dois planos.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\right)+t(1,1,-2),\qquad t\in\mathbb{R}.
\text{Forma simétrica: }x-\tfrac{1}{2}=y+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{z}{2}.é

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